Toán 9 $9$ điểm $D,E,F,L,I,K,M,N;P$ cùng nằm trên một đường tròn

[An Mai]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Ba đường cao $AD,BE,CF$ của tam giác $ABC$ gặp nhau tại $H$ . Gọi $I,K,L$ lần lượt là trung điểm của AB,BC,CA và M,N,P lần lượt là trung điểm của AH,HB,HC .
a) Các tứ giác $INPL$ và $MLKN$ là các hình chữ nhật .
b) $9$ điểm $D,E,F,L,I,K,M,N;P$ cùng nằm trên một đường tròn

 

[hdiemht]

ba đường cao AD,BE,CF của tam giác ABC gặp nhau tại H . Gọi I,K,L lần lượt là trung điểm của AB,BC,CA và M,N,P lần lượt là trung điểm của AH,HB,HC . a) Các tứ giác INPL và MLKN là các hình chữ nhật . b) 9 điểm D,E,F,L,I,K,M,N và P cùng nằm trên một đường tròn

______________________________________________________
a) Dễ dàng chứng minh được: [tex]\left\{\begin{matrix} IL\parallel BC & & \\ IN\parallel AD & & \end{matrix}\right.[/tex]
Mà: [tex]AD\perp BC\Rightarrow IN\perp IL\Rightarrow \widehat{NIL}=90^{\circ}[/tex]
Dễ dàng chứng minh được: $INPL$ là hbh
[tex]\Rightarrow INLP[/tex] là hình chữ nhật
Hoàn toàn tương tự đối với $MNKL$
b) Gọi [tex]IP\cap NL=O[/tex]
Từ đó dễ dàng có được: $M;N;K;L;I;P$ cùng thuộc đường tròn đường kính $NL$
Khi đó: [tex]IP\cap NL\cap MK=O[/tex]
[tex]\Delta IPF[/tex] vuông có $FO$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $IP$
[tex]\Rightarrow OF=OI=OL[/tex]
[tex]\Delta NEL[/tex] vuông có $EO$ là đường trung tuyến suy ra $OE=ON=OL$
[tex]\Delta MDK[/tex] vuông có $DO$ là đường trung tuyến suy ra $OD=OM=OK$
Từ tất cả ở trên suy ra: [tex]M;N;K;L;I;P;D;E;F[/tex] cùng thuộc 1 đường tròn tâm $O$

 

[An Mai]

View attachment 72408
______________________________________________________
a) Dễ dàng chứng minh được: [tex]\left\{\begin{matrix} IL\parallel BC & & \\ IN\parallel AD & & \end{matrix}\right.[/tex]
Mà: [tex]AD\perp BC\Rightarrow IN\perp IL\Rightarrow \widehat{NIL}=90^{\circ}[/tex]
Dễ dàng chứng minh được: $INPL$ là hbh
[tex]\Rightarrow INLP[/tex] là hình chữ nhật
Hoàn toàn tương tự đối với $MNKL$
b) Gọi [tex]IP\cap NL=O[/tex]
Từ đó dễ dàng có được: $M;N;K;L;I;P$ cùng thuộc đường tròn đường kính $NL$
Khi đó: [tex]IP\cap NL\cap MK=O[/tex]
[tex]\Delta IPF[/tex] vuông có $FO$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $IP$
[tex]\Rightarrow OF=OI=OL[/tex]
[tex]\Delta NEL[/tex] vuông có $EO$ là đường trung tuyến suy ra $OE=ON=OL$
[tex]\Delta MDK[/tex] vuông có $DO$ là đường trung tuyến suy ra $OD=OM=OK$
Từ tất cả ở trên suy ra: [tex]M;N;K;L;I;P;D;E;F[/tex] cùng thuộc 1 đường tròn tâm $O$

thank bạn nhé