S
silvery93
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Các bạn lớp 11 đang bắt đầu học tới phần giới hạn của dãy số nên t post fần lim để cùng làm
t tin chắc lên cấp 3 tự học là chính thôi
fần này thầy t dạy nhanh lắm
chắc 5 tiết là xong cả chương
t cũng chưa quen lắm nên cùng nah luyện tập nhé
p/s t post từ nhưng wed # sang để dễ theo dõi
t sẽ post 1 số phương pháp ( học đc ở trên mạng )
t đã cố gắng tổng hợp đầy đủ hoàn chỉnh về những j t bik và hiểu
Ngoài phương pháp "gọi số hạng vắng" trong tìm giới hạn dạng .Ta cùng trao đổi thêm 1 phương pháp nữa để tìm giới hạn dạng này.Đó là phương pháp dùng định nghĩa đạo hàm của h/s tại 1 điểm!
links ( do ko paste đc ) http://www.maths.vn/forums/showthread.php?t=10018
đây là pp "gọi số hạng vắng"
I.Phương pháp 1 : Phương pháp hệ số bất định
Ví dụ 1 :
Tìm A = [tex]\lim\limits_{x \rightarrow 1}F(x)[/tex]
với F(x) = [tex]\frac{\sqrt{5 - x^{3}} - \sqrt[3]{x^{2} + 7} }{x^{2} - 1}[/tex]
Lời giải :
A = [tex]\lim\limits_{x\rightarrow 1}(\frac{\sqrt{5 - x^{3}} - 2}{x^2 - 1} - \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 7} - 2 }{x^{2} - 1})[/tex]
Mà :
[tex]\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt{5 - x^{3}} - 2}{x^2 - 1} = \lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{1 - x^{3}}{(x^2 - 1)(\sqrt{5 - x^{3} + 2}) } = \lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{-(x^{2} + x + 1)}{(x + 1)(\sqrt{5 - x^{3} + 2} } = - \frac{3}{8}[/tex]
[tex]\lim\limits_{x\rightarrow 1} \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 7} - 2 }{x^{2} - 1} = \lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x^{2} - 1}{(x^{2} - 1)(\sqrt[3]{(x^{2} + 7)^{2}} + 2\sqrt[3]{x^{2} + 7 } + 4)} = \lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{1}{\sqrt[3]{(x^{2} + 7)^{2}} + 2\sqrt[3]{x^{2} + 7 } + 4} = \frac{1}{12} [/tex](**)
Từ (**) :Rightarrow [tex]A = - \frac{3}{8} - \frac{1}{12} = - \frac{11}{24}[/tex]
Thuật toán tìm số hạng vắng trong bài toán tìm giới hạn dạng [tex]\frac{0}{0}[/tex] cuả hàm chưá căn thức gồm hai bước :
Bước 1 : Phân tích [tex]F(x) = \frac{f_{1}x + c}{g(x)} + \frac{f_{2}(x) - c}{g(x)} [/tex]
Bước 2 :Tìm c : Gọi [tex]x_{1}[/tex] , [tex]x_{2} [/tex] là nghiệm cuả [tex]g(x) = 0 [/tex]. Khi đó c là nghiệm hệ :
[tex]\large\left\{{\large\left\[{f_{1}(x_{1}) + c = 0}\\{f_{1}(x_{2}} + c = 0}\\{\large\left\[{f_{2}(x_{1}) - c = 0}\\{f_{2}(x_{2}} - c = 0} [/tex]
Với c tìm được thì :
[tex]\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{f_{1}(x) + c}{g(x)} [/tex] ; [tex]\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{f_{2}(x) + c}{g(x)}[/tex]
họăc là dạng xác định họăc là dạng quen thuộc . Việc tìm giới hạn này khá đơn giản .
Sau khi tìm được số c , trình bày lời giải như đã làm .
II.Phương pháp 2 . Ta xét bài toán sau :
Bài toán 1 :
Cho a :neq 0 . Chứng minh rằng : [tex]L = \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[n]{1 + ax} - 1}{x} = \frac{a}{n}[/tex]
Lời giải :
Đặt [tex]y = \sqrt[n]{1 + ax}[/tex] , khi đó từ [tex]x \Rightarrow 0[/tex] , ta có [tex]y \Rightarrow 1[/tex] . Vậy :
[tex]L = \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[n]{1 + ax} - 1}{x} = \lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{y - 1}{\frac{y^{n} - 1}{a}} = a.\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{y - 1}{y^{n} - 1} = a. \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{y - 1}{(y - 1)(y^{n - 1} + . . . + y + 1)} = \frac{a}{n}[/tex] (ĐPCM)
Để tìm [tex]\lim\limits_{x\rightarrow 0}F(x)[/tex] ta thêm bớt P(x) vaò F(x) xuất hiện dạng [tex]\frac{\sqrt[n]{1 + ax} - 1}{x}[/tex] . Hạng tử vắng ở đât là P(x) đã xưng danh trong biêủ thức giới hạn . Nhân tử chung trong phương pháp này không giản ước .
Khi tìm giới hạn thì [tex]\lim\limits_{x\rightarrow 0}P(x)[/tex] là một số xác định .
III.Phương pháp 3 (Tách bộ phận kép)
1.Đôi điêù về PP : Muốn tìm giới hạn
[tex]A = \large\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{\sqrt[m]{f(x)} - \sqrt[n]{g(x)} }{(x - a)^{k}}[/tex] có dạng [tex]\frac{0}{0} [/tex] (n , m , k là các số tự nhiên , 1 :leq k :leq min{m , n}) ta biến biến đổi bằng cách thêm bớt biêủ thức [tex]\large\frac{h(x)}{(x - a)^{k}} [/tex]vaò phân thức phải tìm giới hạn :
[tex]\frac{\sqrt[m]{f(x)} - \sqrt[n]{g(x)} }{(x - a)^{k}} = \frac{\sqrt[m]{f_{1}(x) + [h(x)]^{m}} - h(x)}{(x - a)^{k}} + \frac{h(x) - \sqrt[m]{g_{1}(x) + [h(x)]^{m}} }{(x - a)^{k}} = \large\frac{f_{1}(x)}{(x - a)^{k}.Q_{f}(x)} + \large\frac{g_{1}(x)}{(x - a)^{k}.Q_{g}(x)}[/tex]
Trong đó [tex]Q_{f}(x)[/tex] và [tex]Q_{g}(x)[/tex] theo thứ tự là biêủ thức liên hợp cuả [tex] \sqrt[m]{f(x)} - h(x) [/tex] và [tex]h(x) - \sqrt[n]{g(x)}[/tex] .
Lúc đó :
[tex]A = \large\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f_{1}(x)}{(x - a)^{k}.Q_{f}(x)} + \lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{g_{1}(x)}{(x - a)^{k}.Q_{g}(x)}[/tex]
Điêù quan trọng là chọn được được h(x) sao cho các giới hạn :
[tex]\large\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f_{1}(x)}{(x - a)^{k}.Q_{f}(x)}[/tex] , [tex]\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{g_{1}(x)}{(x - a)^{k}.Q_{g}(x)}[/tex] có dạng xác định họăc dạng quen thuộc .
Lưu ý : - Biêủ thức h(x) được xác định từ biêủ thức f(x) , g(x) và được gọi là bộ phận kép trong bài toán tìm giới hạn .
- Một vài số hạng cuả bộ phận kép h(x) có thể bị ẩn trong [tex]f_{1}(x) [/tex] , [tex]g_{1}(x)[/tex] , ta phải tìm chúng để xác định chính xác biêủ thức h(x) .
Ví dụ 1 : Tìm giới hạn
[tex]A = \large\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{cos2x - 2x} - \sqrt[4]{\sqrt{1 + 2x^{2}} - 4x } }{x^{2}} [/tex]
Lời giải : Đặt
[tex]f(x) = cos2x - 2x = (1 - x)^{2} - x^{2} - 2sin^{2}x[/tex]
hay [tex]f(x) - (1 - x)^{2} = - x^{2} - 2sin^{2}x[/tex]
[tex]g(x) = \sqrt{1 + 2x^{2}} - 4x = (1 - x)^{4} - x^{4} + 4x^{3} - 6x^{2} - 1 + \sqrt{1 + 2x^{2}} hay (1 - x)^{4} - g(x) = (x^{4} - 4x^{3} + 6x^{2} + 1) - \sqrt{1 + 2x^{2}}[/tex] .
Ở đây [tex]h(x) = 1 - x[/tex]
Viết lại
[tex]A = \large\lim\limits_{x\rightarrow 0}(\frac{\sqrt{f(x) - (1 - x)} }{x^{2}} + \frac{(1 - x) - \sqrt[4]{g(x)} }{x^{2}}[/tex] (7)
Ta có :
[tex]A_{1} = \large\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{f(x) - (1 - x)} }{x^{2}} = \large\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{f(x) - (1 - x)^{2}} {x^{2}(\sqrt{f(x)} + 1 - x)} = \large\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{- x^{2} - 2sin^{2}x}{x^{2}(\sqrt{f(x)} + 1 - x)} = \large\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{- 1 - 2(\frac{sinx}{x})^{2} }{\sqrt{f(x)} + (1 - x)} = - \frac{3}{2}[/tex] (8)
[tex]A_{2} = \large\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{(1 - x) - \sqrt[4]{g(x)} }{x^{2}} = \large\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{(x^{4} - 4x^{3} + 6x^{2} + 1) - \sqrt{1 + 2x^{2}} }{x^{2}[(1 - x)^{3} + (1 - x)^{2}.\sqrt[4]{g(x)} + (1 - x)\sqrt{g(x)} + \sqrt[4]{g^{3}(x)}]} = \large\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x^{2} - 4x + 6 - (\frac{\sqrt{1 + 2x^{2}} }{x^{2}} }{(1 - x)^{3} + (1 - x)^{2}.\sqrt[4]{g(x)} + (1 - x)\sqrt{g(x)} + \sqrt[4]{g^{3}(x)}} = \frac{5}{4}[/tex] (9)
Từ (7), (8), (9) có [tex]A = - \frac{3}{2} + \frac{5}{4} = - \frac{1}{4}[/tex]
t tin chắc lên cấp 3 tự học là chính thôi
fần này thầy t dạy nhanh lắm
chắc 5 tiết là xong cả chương
t cũng chưa quen lắm nên cùng nah luyện tập nhé
p/s t post từ nhưng wed # sang để dễ theo dõi
t sẽ post 1 số phương pháp ( học đc ở trên mạng )
t đã cố gắng tổng hợp đầy đủ hoàn chỉnh về những j t bik và hiểu
Ngoài phương pháp "gọi số hạng vắng" trong tìm giới hạn dạng .Ta cùng trao đổi thêm 1 phương pháp nữa để tìm giới hạn dạng này.Đó là phương pháp dùng định nghĩa đạo hàm của h/s tại 1 điểm!
links ( do ko paste đc ) http://www.maths.vn/forums/showthread.php?t=10018
đây là pp "gọi số hạng vắng"
I.Phương pháp 1 : Phương pháp hệ số bất định
Ví dụ 1 :
Tìm A = [tex]\lim\limits_{x \rightarrow 1}F(x)[/tex]
với F(x) = [tex]\frac{\sqrt{5 - x^{3}} - \sqrt[3]{x^{2} + 7} }{x^{2} - 1}[/tex]
Lời giải :
A = [tex]\lim\limits_{x\rightarrow 1}(\frac{\sqrt{5 - x^{3}} - 2}{x^2 - 1} - \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 7} - 2 }{x^{2} - 1})[/tex]
Mà :
[tex]\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt{5 - x^{3}} - 2}{x^2 - 1} = \lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{1 - x^{3}}{(x^2 - 1)(\sqrt{5 - x^{3} + 2}) } = \lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{-(x^{2} + x + 1)}{(x + 1)(\sqrt{5 - x^{3} + 2} } = - \frac{3}{8}[/tex]
[tex]\lim\limits_{x\rightarrow 1} \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 7} - 2 }{x^{2} - 1} = \lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x^{2} - 1}{(x^{2} - 1)(\sqrt[3]{(x^{2} + 7)^{2}} + 2\sqrt[3]{x^{2} + 7 } + 4)} = \lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{1}{\sqrt[3]{(x^{2} + 7)^{2}} + 2\sqrt[3]{x^{2} + 7 } + 4} = \frac{1}{12} [/tex](**)
Từ (**) :Rightarrow [tex]A = - \frac{3}{8} - \frac{1}{12} = - \frac{11}{24}[/tex]
Thuật toán tìm số hạng vắng trong bài toán tìm giới hạn dạng [tex]\frac{0}{0}[/tex] cuả hàm chưá căn thức gồm hai bước :
Bước 1 : Phân tích [tex]F(x) = \frac{f_{1}x + c}{g(x)} + \frac{f_{2}(x) - c}{g(x)} [/tex]
Bước 2 :Tìm c : Gọi [tex]x_{1}[/tex] , [tex]x_{2} [/tex] là nghiệm cuả [tex]g(x) = 0 [/tex]. Khi đó c là nghiệm hệ :
[tex]\large\left\{{\large\left\[{f_{1}(x_{1}) + c = 0}\\{f_{1}(x_{2}} + c = 0}\\{\large\left\[{f_{2}(x_{1}) - c = 0}\\{f_{2}(x_{2}} - c = 0} [/tex]
Với c tìm được thì :
[tex]\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{f_{1}(x) + c}{g(x)} [/tex] ; [tex]\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{f_{2}(x) + c}{g(x)}[/tex]
họăc là dạng xác định họăc là dạng quen thuộc . Việc tìm giới hạn này khá đơn giản .
Sau khi tìm được số c , trình bày lời giải như đã làm .
II.Phương pháp 2 . Ta xét bài toán sau :
Bài toán 1 :
Cho a :neq 0 . Chứng minh rằng : [tex]L = \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[n]{1 + ax} - 1}{x} = \frac{a}{n}[/tex]
Lời giải :
Đặt [tex]y = \sqrt[n]{1 + ax}[/tex] , khi đó từ [tex]x \Rightarrow 0[/tex] , ta có [tex]y \Rightarrow 1[/tex] . Vậy :
[tex]L = \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[n]{1 + ax} - 1}{x} = \lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{y - 1}{\frac{y^{n} - 1}{a}} = a.\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{y - 1}{y^{n} - 1} = a. \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{y - 1}{(y - 1)(y^{n - 1} + . . . + y + 1)} = \frac{a}{n}[/tex] (ĐPCM)
Để tìm [tex]\lim\limits_{x\rightarrow 0}F(x)[/tex] ta thêm bớt P(x) vaò F(x) xuất hiện dạng [tex]\frac{\sqrt[n]{1 + ax} - 1}{x}[/tex] . Hạng tử vắng ở đât là P(x) đã xưng danh trong biêủ thức giới hạn . Nhân tử chung trong phương pháp này không giản ước .
Khi tìm giới hạn thì [tex]\lim\limits_{x\rightarrow 0}P(x)[/tex] là một số xác định .
III.Phương pháp 3 (Tách bộ phận kép)
1.Đôi điêù về PP : Muốn tìm giới hạn
[tex]A = \large\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{\sqrt[m]{f(x)} - \sqrt[n]{g(x)} }{(x - a)^{k}}[/tex] có dạng [tex]\frac{0}{0} [/tex] (n , m , k là các số tự nhiên , 1 :leq k :leq min{m , n}) ta biến biến đổi bằng cách thêm bớt biêủ thức [tex]\large\frac{h(x)}{(x - a)^{k}} [/tex]vaò phân thức phải tìm giới hạn :
[tex]\frac{\sqrt[m]{f(x)} - \sqrt[n]{g(x)} }{(x - a)^{k}} = \frac{\sqrt[m]{f_{1}(x) + [h(x)]^{m}} - h(x)}{(x - a)^{k}} + \frac{h(x) - \sqrt[m]{g_{1}(x) + [h(x)]^{m}} }{(x - a)^{k}} = \large\frac{f_{1}(x)}{(x - a)^{k}.Q_{f}(x)} + \large\frac{g_{1}(x)}{(x - a)^{k}.Q_{g}(x)}[/tex]
Trong đó [tex]Q_{f}(x)[/tex] và [tex]Q_{g}(x)[/tex] theo thứ tự là biêủ thức liên hợp cuả [tex] \sqrt[m]{f(x)} - h(x) [/tex] và [tex]h(x) - \sqrt[n]{g(x)}[/tex] .
Lúc đó :
[tex]A = \large\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f_{1}(x)}{(x - a)^{k}.Q_{f}(x)} + \lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{g_{1}(x)}{(x - a)^{k}.Q_{g}(x)}[/tex]
Điêù quan trọng là chọn được được h(x) sao cho các giới hạn :
[tex]\large\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f_{1}(x)}{(x - a)^{k}.Q_{f}(x)}[/tex] , [tex]\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{g_{1}(x)}{(x - a)^{k}.Q_{g}(x)}[/tex] có dạng xác định họăc dạng quen thuộc .
Lưu ý : - Biêủ thức h(x) được xác định từ biêủ thức f(x) , g(x) và được gọi là bộ phận kép trong bài toán tìm giới hạn .
- Một vài số hạng cuả bộ phận kép h(x) có thể bị ẩn trong [tex]f_{1}(x) [/tex] , [tex]g_{1}(x)[/tex] , ta phải tìm chúng để xác định chính xác biêủ thức h(x) .
Ví dụ 1 : Tìm giới hạn
[tex]A = \large\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{cos2x - 2x} - \sqrt[4]{\sqrt{1 + 2x^{2}} - 4x } }{x^{2}} [/tex]
Lời giải : Đặt
[tex]f(x) = cos2x - 2x = (1 - x)^{2} - x^{2} - 2sin^{2}x[/tex]
hay [tex]f(x) - (1 - x)^{2} = - x^{2} - 2sin^{2}x[/tex]
[tex]g(x) = \sqrt{1 + 2x^{2}} - 4x = (1 - x)^{4} - x^{4} + 4x^{3} - 6x^{2} - 1 + \sqrt{1 + 2x^{2}} hay (1 - x)^{4} - g(x) = (x^{4} - 4x^{3} + 6x^{2} + 1) - \sqrt{1 + 2x^{2}}[/tex] .
Ở đây [tex]h(x) = 1 - x[/tex]
Viết lại
[tex]A = \large\lim\limits_{x\rightarrow 0}(\frac{\sqrt{f(x) - (1 - x)} }{x^{2}} + \frac{(1 - x) - \sqrt[4]{g(x)} }{x^{2}}[/tex] (7)
Ta có :
[tex]A_{1} = \large\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{f(x) - (1 - x)} }{x^{2}} = \large\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{f(x) - (1 - x)^{2}} {x^{2}(\sqrt{f(x)} + 1 - x)} = \large\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{- x^{2} - 2sin^{2}x}{x^{2}(\sqrt{f(x)} + 1 - x)} = \large\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{- 1 - 2(\frac{sinx}{x})^{2} }{\sqrt{f(x)} + (1 - x)} = - \frac{3}{2}[/tex] (8)
[tex]A_{2} = \large\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{(1 - x) - \sqrt[4]{g(x)} }{x^{2}} = \large\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{(x^{4} - 4x^{3} + 6x^{2} + 1) - \sqrt{1 + 2x^{2}} }{x^{2}[(1 - x)^{3} + (1 - x)^{2}.\sqrt[4]{g(x)} + (1 - x)\sqrt{g(x)} + \sqrt[4]{g^{3}(x)}]} = \large\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x^{2} - 4x + 6 - (\frac{\sqrt{1 + 2x^{2}} }{x^{2}} }{(1 - x)^{3} + (1 - x)^{2}.\sqrt[4]{g(x)} + (1 - x)\sqrt{g(x)} + \sqrt[4]{g^{3}(x)}} = \frac{5}{4}[/tex] (9)
Từ (7), (8), (9) có [tex]A = - \frac{3}{2} + \frac{5}{4} = - \frac{1}{4}[/tex]
Last edited by a moderator:
