Toán 9 Chứng minh A, P, J thẳng hàng

[Hungthitkhia]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho ∆ABC nhọn ngoại tiếp đường tròn (I). Hai đường thẳng AI và BC cắt nhau tại D. Gọi E, F là điểm đối xứng của D qua các đường thẳng IB, IC
a. Chứng minh EF//BC
b. Gọi M, N, J lần lượt là trung điểm DE, DF, EF. Đường tròn ngoại tiếp ∆AEM và ∆AFN cắt nhau tại P. Chứng minh M, P, N, J cùng thuộc 1 đường tròn
c. Chứng minh A, P, J thẳng hàng

 

[mbappe2k5]

Cho ∆ABC nhọn ngoại tiếp đường tròn (I). Hai đường thẳng AI và BC cắt nhau tại D. Gọi E, F là điểm đối xứng của D qua các đường thẳng IB, IC
a. Chứng minh EF//BC
b. Gọi M, N, J lần lượt là trung điểm DE, DF, EF. Đường tròn ngoại tiếp ∆AEM và ∆AFN cắt nhau tại P. Chứng minh M, P, N, J cùng thuộc 1 đường tròn
c. Chứng minh A, P, J thẳng hàng

Mình gửi bạn cái hình đã nhé!

​

a. Do I là tâm nội tiếp tam giác ABC, AI cắt BC tại D nên AD là phân giác trong góc BAC.
Theo tính chất đường phân giác trong tam giác ta có [tex]\frac{AB}{AC}=\frac{DB}{DC}\Leftrightarrow \frac{AB}{DB}=\frac{AC}{DC}[/tex].
Do E đối xứng với D qua IB nên [TEX]BE=BD[/TEX], tương tự ta cũng có [TEX]CF=CD[/TEX]. Suy ra [tex]\frac{AB}{BE}=\frac{AC}{CF}[/tex]. (1)
Do tính chất đối xứng nên BI là phân giác góc EBD hay chính là góc EBC.
Mà I là tâm nội tiếp nên BI là phân giác góc ABC.
Từ đó suy ra [TEX]A,E,B[/TEX] thẳng hàng. Tương tự, [TEX]A,F,C[/TEX] thẳng hàng.
Do vậy từ (1) suy ra [tex]\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}[/tex] nên [TEX]EF//BC[/TEX] (theo định lý Thàles đảo).

Spoiler: Bình luận về lỗi hay sai ở câu này...

Mấu chốt ở câu này là phải chứng minh được E nằm trên AB, F nằm trên AC thì mới có được tỉ số quan trọng nhất, là [tex]\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}[/tex]. Nhiều bạn chắc hẳn sẽ dễ ngộ nhận các điểm thẳng hàng khi nhìn trên hình vẽ mà không lập luận tại sao lại như vậy.

 

[Hungthitkhia]

Mình gửi bạn cái hình đã nhé!

View attachment 138589​

a. Do I là tâm nội tiếp tam giác ABC, AI cắt BC tại D nên AD là phân giác trong góc BAC.
Theo tính chất đường phân giác trong tam giác ta có [tex]\frac{AB}{AC}=\frac{DB}{DC}\Leftrightarrow \frac{AB}{DB}=\frac{AC}{DC}[/tex].
Do E đối xứng với D qua IB nên [TEX]BE=BD[/TEX], tương tự ta cũng có [TEX]CF=CD[/TEX]. Suy ra [tex]\frac{AB}{BE}=\frac{AC}{CF}[/tex]. (1)
Do tính chất đối xứng nên BI là phân giác góc EBD hay chính là góc EBC.
Mà I là tâm nội tiếp nên BI là phân giác góc ABC.
Từ đó suy ra [TEX]A,E,B[/TEX] thẳng hàng. Tương tự, [TEX]A,F,C[/TEX] thẳng hàng.
Do vậy từ (1) suy ra [tex]\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}[/tex] nên [TEX]EF//BC[/TEX] (theo định lý Thàles đảo).

Spoiler: Bình luận về lỗi hay sai ở câu này...

Mấu chốt ở câu này là phải chứng minh được E nằm trên AB, F nằm trên AC thì mới có được tỉ số quan trọng nhất, là [tex]\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}[/tex]. Nhiều bạn chắc hẳn sẽ dễ ngộ nhận các điểm thẳng hàng khi nhìn trên hình vẽ mà không lập luận tại sao lại như vậy.

Bạn ơi, còn câu b và c thì sao?