Toán 11 Đạo hàm của hàm số

[Sweetdream2202]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Đạo hàm của hàm số tại một điểm
- Cho hàm số [tex]y=f(x)[/tex] xác định trên khoảng (a;b) có [tex]x_0[/tex] nằm trong khoảng đó.
- Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số [tex]\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/tex] khi x dần đến [tex]x_0[/tex] được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm[tex]x_0[/tex].
- kí hiệu: [tex]f'(x_0)[/tex] hay [tex]y'(x_0)[/tex]. nghĩa là [tex]f'(x_0)=\underset{x\rightarrow x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/tex]
Tính đạo hàm bằng định nghĩa.
Muốn tính đạo hàm của hàm số [tex]f(x)[/tex] tại điểm [tex]x_0[/tex] theo định nghĩa, ta thực hiện hai bước sau:
bước 1: tính [tex]\Delta y[/tex] theo công thức [tex]\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)[/tex]. trong đó [tex]\Delta x[/tex] là gia đối số của biến số tại [tex]x_0[/tex].
bước 2: tìm giới hạn [tex]\underset{\Delta x\rightarrow 0}{lim}\frac{\Delta y}{\Delta x}[/tex]

ví dụ: tính đạo hàm của hàm số [tex]y=\sqrt{x^2+1}[/tex] tại 3
giải:
ta có:
[tex]\Delta y=\sqrt{(3+\Delta x)^2+1}-\sqrt{(3)^2+1}[/tex]
đạo hàm của hàm số tại [tex]x_0=3[/tex]
[tex]\underset{\Delta x\rightarrow 0}{lim}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\rightarrow 0}{lim}\frac{\sqrt{(3+\Delta x)^2+1}-\sqrt{(3)^2+1}}{\Delta x}=\underset{\Delta x\rightarrow 0}{lim}\frac{(3+\Delta x)^2-(3)^2}{\Delta x.(\sqrt{(3+\Delta x)^2+1}+\sqrt{3^2+1})}=\underset{\Delta x\rightarrow 0}{lim}\frac{\Delta x+6}{\sqrt{(3+\Delta x)^2+1}+\sqrt{3^2+1})}=\frac{3}{\sqrt{10}}[/tex]

2. đạo hàm của hàm số trên một khoảng
- cho hàm số [tex]f(x)[/tex] xác định trên khoảng K, ta có định nghĩa:
+ hàm số [tex]f(x)[/tex] có đạo hàm trên khoảng K nếu nó có đạo hàm [tex]f'(x)[/tex] tại mọi điểm thuộc khoảng K.
+ nếu hàm số có đạo hàm trên khoảng K thì hàm số [tex]f'(x)[/tex] được gọi là đạo hàm của hàm số [tex]f(x)[/tex]

* chú ý: hàm số có đạo hàm trên khoảng K thì hàm số đó liên tục trên khoảng K.
- một số đạo hàm của hàm số cơ bản:
+ đạo hàm của hằng số bằng 0. [tex]c'=0[/tex]
+ đạo hàm của hàm số [tex]y=x[/tex] là [tex]y'=1[/tex]
+ đạo hàm của hàm số [tex]y=x^n[/tex] là [tex]y'=n.x^{n-1}[/tex]
+ đạo hàm của hàm số [tex]y=\sqrt{x}[/tex] là [tex]\frac{1}{2\sqrt{x}}[/tex]
+ đạo hàm của hàm số [tex]y=\frac{1}{x}[/tex] là [tex]y'=-\frac{1}{x^2}[/tex]

* chú ý:
+ [tex](f(x) \pm g(x))'=f'(x) \pm g'(x)[/tex]
+ [tex](f(x).g(x))'=f'(x).g(x)+f(x).g'(x)[/tex]
+ [tex]\left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )'=\frac{f'(x).g(x)-f(x).g'(x)}{g^2(x)}[/tex]

ví dụ: tính đạo hàm của các hàm số sau:
a. [tex]y=x^3+x^2+x+2019[/tex]
b. [tex]y=\frac{x+1}{x+3}[/tex]
giải:
a. [tex] y'=(x^3+x^2+x+2019)'=3x^2+2x+1[/tex]
b. [tex]y'=\left ( \frac{x+1}{x+3} \right )'=\frac{(x+1)'.(x+3)-(x+1).(x+3)'}{(x+3)^2}=\frac{2}{(x+3)^2}[/tex]

3. đạo hàm của hàm hợp:
- cho hàm số [tex]f(x)[/tex] và [tex]u(x)[/tex]. khi đó [tex]f[u(x)][/tex] vgoji là hàm hợp.
- công thức đạo hàm của hàm hợp: cho hàm hợp [tex]y=f[u(x)][/tex]. ta có đạp hàm: [tex]y'=f'(u).u'(x)[/tex]

ví dụ:
tính đạo hàm của hàm số [tex]y=\sqrt{\frac{1}{x}+1}[/tex]
đây là hàm hợp của hàm [tex]f(u)=\sqrt{u}[/tex] với [tex]u(x)=\frac{1}{x}+1[/tex]. ta có:
[tex]y'=(\frac{1}{x}+1)'.\frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{x}+1}}=-\frac{1}{2x^2\sqrt{\frac{1}{x}+1}}=-\frac{1}{2\sqrt{x^4+x^3}}[/tex]