Toán 8 3 đường thẳng đồng quy cắt 2 đường thẳng song song

[7 1 2 5]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC vuông tại A, [tex]\angle B=3\alpha[/tex]. Trên tia đối tia BC lấy D sao cho [tex]\angle BAD=\alpha[/tex]. Lấy trung điểm của AD là I. Chứng minh [tex]\angle AIC=\angle BID[/tex]
@@The❀Fire♠Swordᵛᶥᶯᶣ††♥♥♥✿♫ @Vie Hoàng @Tiến Phùng

 

[iceghost]

Từ trung điểm $I$ kẻ đường thẳng vuông góc $AD$ cắt $DC$ tại $E$, suy ra $\triangle{AED}$ cân tại $E$.
Gọi $F$ là giao điểm của $CI$ và $AE$. Từ $E$ kẻ đường thẳng song song $AD$ cắt $CI$ tại $K$.

Dễ dàng tính được $\widehat{BDA} = 2\alpha$ và $\widehat{BAE} = \alpha = \widehat{BAD}$.
Từ đó suy ra $AB$ là đường phân giác trong $\triangle{ADE}$, mà $AC \perp AB$ nên $AC$ là đường phân giác ngoài $\triangle{ADE}$ (phân giác ngoài vuông góc phân giác trong)

Áp dụng định lý Ta-lét: $$\dfrac{EF}{AF} = \dfrac{EK}{AI} = \dfrac{EK}{DI} = \dfrac{CE}{CD}$$
Áp dụng định lý đường phân giác: $$\dfrac{CE}{CD} = \dfrac{AE}{AD} = \dfrac{BE}{BD}$$
Từ đó suy ra $\dfrac{EF}{AF} = \dfrac{BE}{BD}$ hay $\dfrac{EF}{EA} = \dfrac{EB}{ED}$.
Do $EA = ED$ nên $EF = EB$. Tới đây $\triangle{BIE} = \triangle{FIE}$ (c-g-c) nên $\widehat{EIB} = \widehat{EIF}$ hay $\widehat{DIB} = \widehat{AIC}$ (đpcm).