giải phương trình lượng giác
16cos(x+pi/4)-4căn3cos2x +5 =0
câu 2
cho a b c là các số thực dương thoả mản a^8 +b^8 +c^8 nhỏ hơn hoặc bằng 3
cmr
a^2/(b+c)^ +b^2/(a+c)^5 +c^2/(a+b)^5 lớn hơn hoặc bằng 3/32
Chào em!
Hocmai.toan hoc giúp em bài này nhé!
Áp dụng BDT Co-si ta có :
[TEX]\frac{a^2}{(b+c)^5} + \frac{b+c}{64}\geq \frac{a}{4(b+c)^2}[/tex]
[tex]\frac{a}{(b+c)^2} + \frac{a}{4} \ge \frac{a}{b+c}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{a^2}{(b+c)^5} \ge \frac14 (\frac{a}{b+c} - \frac{a}{4}) - \frac{b+c}{64} \ \ (1)[/TEX]
Tương tự ta có :
[TEX]\frac{b^2}{(c+a)^5} \ge \frac14 (\frac{b}{c+a} - \frac{b}{4}) - \frac{a+c}{64} \ \ (2)[/TEX]
[TEX]\frac{c^2}{(a+b)^5} \ge \frac14 (\frac{c}{a+b} - \frac{c}{4}) - \frac{a+b}{64} \ \ (3)[/TEX]
Cộng vế (1), (2), (3) vế theo vế ta có :
[TEX]\frac{a^2}{(b+c)^5} + \frac{b^2}{(c+a)^5} + \frac{c^2}{(a+b)^5} \ge \frac14\big( \( \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b}\)- \frac{a+b+c}{4} \big) - \frac{a+b+c}{32} \ \ (4)[/TEX]
Ta có :
[TEX]\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \\ = (a+b+c)(\frac{1}{b+c}+ \frac{1}{c+a} + \frac{1}{a+b}) - 3 \\ = \frac12 \( (a+b)+(b+c)+(c+a) \) \( \frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a} + \frac{1}{a+b} \) - 3 \\ \ge \frac12. \ 3.\ \sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)} . \frac{3}{\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}} - 3 = \frac32 \\ \Rightarrow \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \ge \frac32 \ \ (5).
[/TEX]
[TEX]a^8+1 \ge 2a^4[/tex]
[tex]a^4+1 \ge 2a^2[/tex]
[tex]a^2 + 1 \ge 2a[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a^8 \ge 2a^4 - 1 \ge 2(2a^2-1) - 1 = 4a^2 -3 \ge 4(2a-1) -3 \ge 8a -7
\Leftrightarrow a^8 \ge 8a-7[/TEX]
Tương tự ta có :
[TEX]b^8 \ge 8b-7 \\ c^8 \ge 8c-7[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 3\ge a^8 + b^8 + c^8 \ge 8(a+b+c)-1 \\ \Leftrightarrow a+b+c \le (3) \ \ (6)[/TEX]
Từ (4),\ (5), \ (6), ta có :
[TEX]\frac{a^2}{(b+c)^5} + \frac{b^2}{(c+a)^5} + \frac{c^2}{(a+b)^5} \ge \frac14( \frac32 - \frac{3}{4}) - \frac{3}{32} = \frac{3}{32}.
[/TEX]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn