Giải đáp các vấn đề về Toán học by Mr. Rocky.

Thảo luận trong 'Thảo luận chung' bắt đầu bởi rocky1208, 22 Tháng chín 2010.

Lượt xem: 5,689

  1. rocky1208

    rocky1208 Guest

    Sở hữu bí kíp ĐỖ ĐẠI HỌC ít nhất 24đ - Đặt chỗ ngay!

    Đọc sách & cùng chia sẻ cảm nhận về sách số 2


    Chào bạn mới. Bạn hãy đăng nhập và hỗ trợ thành viên môn học bạn học tốt. Cộng đồng sẽ hỗ trợ bạn CHÂN THÀNH khi bạn cần trợ giúp. Đừng chỉ nghĩ cho riêng mình. Hãy cho đi để cuộc sống này ý nghĩa hơn bạn nhé. Yêu thương!

    Mình đã lập một cái tô-pic về hoá để giải đáp các câu hỏi của các bạn trên hocmai.vn (Các bạn tham khảo ở đây nhé: http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=115633). Mình định giải đáp mọi vấn đề của khối A trong pic này, nhưng xem ra nội quy của diễn đàn không cho phép :p Vì vậy mọi người post toán lên pic này nhé. Post lên pic kia mod mà nhìn thấy sẽ "làm thịt" cả mình lẫn các bạn đấy :)) :)) :))

    :)>-
    Best Regards
    Rocky
     
    Last edited by a moderator: 23 Tháng chín 2010
  2. duynhan1

    duynhan1 Guest

    Anh giải đáp cho em 2 cái này ạ :))
     
  3. letrang3003

    letrang3003 Guest

    Cho em hỏi cái : điều kiện để 1 PT có đủ 3 nghiệm là gì ạ :D
     
  4. rocky1208

    rocky1208 Guest

    Bài này em sử dụng đối xứng trục và phép quay nhé. Cái này là kiến thức 11, anh cũng không biết enm học lớp mấy nên cứ giải theo cách này nhé :) Hình vẽ của em đây:
    [​IMG]
    B'là điểm đối xứng cuả Bqua đường d. Khi đó tổng
    S = MA + MB + MC trở thành S = MA + MB' + MC
    Nhiệm vụ là tìm m thuộc d sao cho S = MA + MB' + MC' (1) đạt min. (A, B', C' là cố định chỉ có M biến động)
    Ta thực hiện phép quay tâm B' với góc quay 60 độ thì M-> M' và A-> A' và tam giác MM'B' đều (vì MB=MB' và có góc B =60 độ) -> MM' =MB'. Tương tự M'A' = MA (phép quay là một phép dời hình biến 1 đoạn thành 1 đoạn bằng nó)
    Thế vào (1) ta được.
    S= A'M' + M'M + MC
    Em thấy đoạn A'M' - M'M - MC là một đường gấp khúc. Để nó min thì 4 điểm A'; M'; M; C phải thẳng hàng -> từ đó suy ra hướng dựng là M phải là giao của A'C và d
    Không có phép biến đổi này nhé [TEX](\vec{AB})^2. (\vec{AC})^2 = (\vec{AB}.\vec{AC})^2 = (\vec{0})^2 = 0 [/TEX] :D
    :)>-
    From Rocky
     
  5. rocky1208

    rocky1208 Guest

    Thông thường có 2 cách sau:
    Cách 1: phân tích pt bậc ba về dạng: [TEX](x-x_0)(ax^2+bx+c)=0[/TEX] (1). Đặt [TEX]g(x)= (ax^2+bx+c)=0.[/TEX]
    Khi đó để pt (1) có 3 nghiệm phân biệt thì thằng g(x) phải có 2 nghiệm phân biệt khác [TEX]x_0[/TEX]. tương đương với cái hệ sau

    • a khác 0 (để g(x)) là tam thức bậc 2
    • Δ > 0 để gx có 2 nghiệm pb
    • [TEX]g(x_0)[/TEX] khác 0 để [TEX]x_0 [/TEX]không là nghiệm của g(x)
    Giải ra là OK
    Cách 2: nếu không phân tích được thì phải dùng cực trị
    Số nghiệm của pt bậc 3 là số giao điểm của đồ thị hàm bậc 3: y=f(x) với Ox : y=0 nên để có 3 nghiệm phân biệt thì

    • f(x) phải có 2 cực trị
    • 2 cực trị này phải trái dấu (y1.y2<0) để 1 cực trị nằm trên, một nằm dưới Ox như thế mới cắt nhau tại 3 điểm phân biệt được. Đối với hàm đa thức bậc 3 thì thông thường em phải làm công việc chia y cho y' để tìm phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị rồi tìm tích y1.y2 bằng cách thay x1, x2 vào phương trình vừa tìm được, rồi áp dụng Vi-et. Chứ thay vào hàm bậc 3 thì ... vỡ mặt :khi (64): Hình vẽ mô tả ở dưới, 3 cái dấu x là 3 giao điểm với Ox, cũng chính là 3 nghiệm phân biệt ;)
      [​IMG]
    :)&gt;-
    From Rocky
     
    Last edited by a moderator: 22 Tháng chín 2010
  6. moi nguoi giai ho em bai nay a:
    1/ y=(x^2 + (2m-1)x + 3m -2)/(x+m). tim m de hs dat cuc tieu tai x=0.
    2/ tim GTLN,GTNN:
    a/ y=(3x^2 + x +1)/(x^2 + 1)
    b/ y= co s(x).co s(3x) moi x trong doan[0;pi/2].
    em cam on a.
     
  7. silvery21

    silvery21 Guest

    hàm số y = x^3 - 3x có đthị (C)

    cho A;B;C là 3 điểm phân biệt thẳng hàng có hoành độ khác 0 và cùng thuộc C . tiếp tuyến của (C) tại A; B ; C cắt (C) lần lượt tại a1; B1; C1 đôi 1 khác nhau . cm 3 điểm a1; B1; C1 thẳng hàng
     
  8. lagrange

    lagrange Guest

    Cho tứ diện ABCD có AB=AC=BC=a;AD=2a;CD=[tex]a\sqrt{2}[/tex];BD=[tex]a\sqrt{3}[/tex].Tính khoảng cách từ D đến (ABC) bác giải dùm em bài này nhé khó quá ;bài cua slivery là bài học viên buu chính viễn thông năm 1999-2000 cậu post qua toppic khác mình sẽ giải
     
    Last edited by a moderator: 22 Tháng chín 2010
  9. rocky1208

    rocky1208 Guest

    Anh chỉ hướng dẫn cách làm thôi nhé, anh ngại gõ Latex lắm :D
    Bước 1: tính y' =....
    Bước 2: Hàm số đạt CT tại x = 0 nên có điều sau

    • y'(0) = 0 (1)
    • y"(0)>0 (2)
    Giải 2 cái đó ra được giá trị của m (giải cái (1) là ra các giá trị của m, còn giải cái (2) để xác định xem giá trị nào nhận, giá trị nào loại)
    a. [TEX]y=\frac{3x^2 + x +1}{x^2 + 1}[/TEX]
    Bước 1: tính y' = [TEX] y=\frac{-x^2+4x+1}{(x^2 + 1)^2}[/TEX]
    Bước 2: cho y' = 0 -> [TEX] -x^2+4x+1 = 0[/TEX] (lẻ quá, em xem lại xem có đúng đề không nhé)
    Cái pt trên chắc chắn cho 2 nghiệm x_1 và x_2 (vì a.c <0) nên y' . Do nó lẻ quá nên anh cứ để vậy :D
    Bước 3 : tính lim f(x) khi x-> [TEX] - \infty[/TEX] và [TEX]+\infty[/TEX] để biết hàm số tiến tới đâu, không phải lúc nào x-> [TEX]\infty[/TEX] thì y cũng -> [TEX]\infty[/TEX] đâu nhé ;)
    [TEX]lim_{x\to\pm\infty}{f(x)} = \frac{3}{1} =3[/TEX]
    Bước 4: vẽ cái BBT ra. Hình đây.
    [​IMG]
    Em tính mấy gt y1, y2 ra rồi so xem > hay < 3 nhé, rồi kết luận min, max
    b. [TEX]y= cosx.cos3x[/TEX]mọi x trong đoạn[TEX][0;\frac{\pi}{2}][/TEX].
    Bước 1: dùng công thức nhân 3 biến [TEX]cos3x = 4cos^3x -3cosx[/TEX] -> [TEX]y = cosx(4cos^3x -3cosx)[/TEX]
    Bước 2: đặt [TEX]cosx =t -> t \in[0,1][/TEX] vì [TEX]x \in [0;\frac{\pi}{2}][/TEX] vậy bài toán trở về tìm min, max của[TEX] y = g(t) = 4t^4 -3t^2 , t \in [0,1][/TEX]
    Bước 3: vẽ cái BBT ra rồi làm tương tự bài trên

    :)&gt;-
    From Rocky
     
    Last edited by a moderator: 22 Tháng chín 2010
  10. duynhan1

    duynhan1 Guest

    :D đáp số sai ạ. Theo đáp số thì điểm B ko có vai trò trong bài toán này. Do điểm A,B,C có vai trò như nhau nên việc đáp số ko liên quan đến điểm B là sai:)


    Em nghĩ sai chỗ đường gấp khúc ạ ;)
     
  11. giúp em bài này ạ ,:D
    Trên 1 đường thẳng có hữu hạn những đoạn thẳng. Trong đó 2 đoạn bất kì có điểm chung. CMR tất cả các đoạn đều có điểm chung
     
  12. [TEX](\vec{AB})^2. (\vec{AC})^2 =[\|\vec{AB}\|.\|\vec{AC}\|]^2\neq{ (\vec{AB}.\vec{AC})^2 [/TEX]
     
  13. rocky1208

    rocky1208 Guest

    Em nhìn hình vẽ nhé
    [​IMG]
    Đặt V = thể tích ABCD
    Từ các dữ kiện đề bài, theo pytago, ta nhận thấy

    • Tam giác BCD vuông ở C
    • Tam giác ABD vuông ở B
    Dựng C' [TEX]\in[/TEX] DC sao cho góc DBC' vuông. Khi đó DB vuông (ABC') vì DB vuong góc với 2 đường AB và BC' của mặt (ABC') -> DB là đường cao của chóp ABC'D
    Đặt V' = thể tích chóp ABC'D ->[TEX]V' = \frac{1}{3}.DB.S_{ABC'}[/TEX]
    Bây giờ phải tính được [TEX]S_{ABC'}[/TEX]. Đứa nào rỗi rãi ngồi tính hộ anh cái :D Tính ra [TEX]S_{ABC'}[/TEX] là ra V'.

    Ta có tam giác BCD và C'CB là đồng dạng. Từ đó rút ra: CC' = [TEX]\frac{\sqrt{2}a}{2}[/TEX]; BC' = [TEX]\frac{\sqrt{3}a}{2}[/TEX]

    Áp dụng công thức: [TEX]\frac{V}{V'} = \frac{DA}{DA}.\frac{DB}{DB}.\frac{DC}{DC'} = \frac{DC}{DC'}[/TEX] (hình như cái này gọi là công thức Simpson thì phải :-/)
    Từ đó -> V
    mà [TEX]V = \frac{1}{3}.h.S_{ABC} \Rightarrow h = \frac{3V}{S_{ABC}}[/TEX] ([TEX]S_{ABC}[/TEX] dễ tính được vì ABC là tam giác đều). Vậy ra h, mà H chính là độ dài đường cao hạ từ D xuống ABC.
    Hướng làm của anh là như thế.

    :)&gt;-
    From Rocky
    Ps: có đứa nào rỗi rãi thì thỉnh thoảng vào giải giúp anh cái. Nhiều bài thế này một mình anh giải thì ...:khi (122): (anh ngại gõ latex lắm ;) ).
     
    Last edited by a moderator: 22 Tháng chín 2010
  14. 2) Cho hình chóp đều S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng 2a. Cạnh bên SA=[TEX]a\sqrt5[/TEX]. Một mặt phẳng (P) đi qua AB và vuông góc với (SCD), (P) lần lượt cắt SC,SD tại C' và D'
    a) Tính diện tích tứ giác ABC'D'
    b) tính thể tích khối ABCDD'C'
    __________________
     
  15. tranthuha93

    tranthuha93 Guest

  16. rocky1208

    rocky1208 Guest

    Phương pháp cực trị trong hình phẳng

    Hôm nay mình muốn giới thiệu với các bạn lớp 11 một phương pháp giải quyết một số vấn đề về cực trị hình học phẳng thông qua phép dời hình. Mình đang dạy hai đứa nhóc lớp 11, chúng bảo ở trên lớp bây giờ mới chỉ học đến phép đối xứng trục, và thông thường là một bài trong SGK phải học hơn một tuần mới xong … hic. Mình nghĩ phương pháp học dạng này tốt nhất là học qua lý thuyết càng nhanh càng tốt, để có một cái nhìn tổng quát, rằng chúng ta có khoảng 5 công cụ dời hình, và 5 công cụ này rất đơn giản nhưng ứng dụng nó lại là cả một nghệ thuật :)) :)) :)) Và vì thế, tất lẽ dĩ ngẫu, chúng ta sẽ là những nghệ sỹ =))=))=)) Sau đó là làm bài tập cho từng dạng, rồi nâng cao hơn là những bài cần phối hợp 2 hay nhiều phép dời hình. Mọi lý thuyết sẽ sáng tỏ khi ta làm thành thạo các bài tập (thông thường cần làm n bài cho một dạng với n →∞ b-( ). Hình học là tư duy trực quan, vì vậy không một lý thuyết nào giúp ta thấu hiểu bản chất của nó bằng các bài tập và những hình vẽ. Đó cũng là cách mình truyền tải lý thuyết của phần này: bài tập và hình vẽ. Bây giờ không dông dài nữa, chúng ta bắt đầu “cuộc đời của một nghệ sỹ”… =)) =)) =))
    Bài 1: Ở một thành phố nhỏ ven sông đang giải phóng mặt bằng để chuẩn bị quy hoạch một dự án đô thị mới. Các gia đình đều phải giải tỏa và đã chuyển đi nơi khác sau khi nhận một cục tiền đền bù. Tuy nhiên còn ngôi nhà vẫn chưa chịu di dời, đó là nhà của 2 lão Mathematican độc thân (A và B). Vị trí nhà 2 lão như hình vẽ.
    [​IMG]
    Lão chủ thầu khuyên nhủ thế nào cũng không chịu đi (thông thường những nhà toán học thường hay hấp dở kiểu như thế). Lão ta nghĩ ra một cách là cho người phóng hỏa nhà lão B. Và hắn làm thật. Đang giữa trưa, nhà lão B tự dưng cháy, lão vội gọi điện cho ông bạn thân A nhờ chữa cháy giúp, vì tối qua đi tán gái, không biết là chó nhà nàng mới đẻ, hậu quả là bị nó cắn vào chân nên không thể đi lại được :( Lão B thấy vậy, không ngại ngần vác một cái thùng phi tức tốc chạy ra bờ sông múc nước cứu bạn. Tuy nhiên toán học đã ngấm vào máu của lão nên chỉ trong [TEX]\frac{1}{1000}[/TEX] giây, lão già A đã tìm ra được đường đi ngắn nhất từ nhà mình đến bờ sông để múc nước, và từ bờ sông đến nhà bạn. Nếu bạn rơi vào trường hợp như vậy bạn sẽ làm thế nào?
    Lời giải:
    Ta đưa bài toán về dạng như sau: Tìm điểm M (điểm múc nước) thuộc đường thẳng d (bờ sông) sao cho tổng khoảng cách MA + MB là nhỏ nhất (1). Khi ta chưa biết một điều gì thì sự “tưởng bở”“mơ hão” hóa ra lại có vai trò quan trọng :)) Giá mà tìm được điểm M. Vậy ta giả sử đã tìm được M thỏa mãn (1) như hình vẽ.
    [​IMG]
    Lấy A’ đối xứng với A qua d, ta sẽ có AM = A’M. Vậy bài toán trở thành: Tìm M để MA’ + MB là min. Mà ta nhận thấy đoạn nói A’, M, B là một đường gấp khúc. MA’+MB min khi đường gấp khúc này tiến về một đường thẳng. Vậy M sẽ là giao của A’B với d. Hình vẽ
    [​IMG]
    Như vậy ý tưởng sẽ là:
    Bài toán yêu cầu tìm min của một tổng S là tổng của hữu hạn các đoạn thẳng. Ta phải dùng những phép dời hình thích hợp để thay thế những đoạn cần thiết bởi những đoạn tương đương. Sao cho tổng cần tính của ta trở thành một đường gấp khúc. Đường này sẽ min khi nó là một đường thẳng. Từ đó rút ra hướng dựng. Cái “giá mà” đã trở thành hiện thực.

    Bài 2: Bây giờ có một góc nhọn xOy và một điểm A bên trong góc này. Hãy tìm B thuộc Ox và C thuộc Oy sao cho chu vi tam giác ABC là min.
    Lời giải: Lại là “giá mà tìm được B, C thỏa mãn” thì tốt biết mấy. Khi đó S = AB + BC + AC min.
    [​IMG]
    Lấy đối xứng của A lần tượt qua Ox, Oy ta được tương ứng E, F . Khi đó AB = EB, AC = FC. Tổng S = EB + BC + CF. Lại là một đường gấp khúc. Tất lẽ dĩ ngẫu, B và C phải là giao của , F với Ox và Oy rồi.
    [​IMG]
    Hai ví dụ trên chúng ta đều sử dụng tính chất của phép đối xứng trục để giải quyết bài toán dựa trên định hướng “đưa đường gấp khúc về đường thẳng”

    Bài 3: Bây giờ ví dụ cuối cùng. Có 3 thành phố A, B, C nằm ở 3 đỉnh của một tam giác nhọn. Tất cả người dân trong thành phố đều có sở thích ăn gà rán KFC. Tuy nhiên KFC dạo này đang làm ăn thua lỗ nên không thể đầu tư xây tại mỗi thành phố một nhà hàng được. Vì vậy , học quyết định xây một nhà hàng ở trong lòng tam giác, sao cho tổng khoảng cách từ nhà hàng đến trung tâm 3 thành phố là ngắn nhất. Nếu KFC thuê bạn thiết kế, bạn sẽ làm ntn?
    Lời giải: Lại “giá mà” nhé :)) ta sẽ có hình vẽ
    [​IMG]
    Bài toán trở thành: Tìm điểm I bên trong tam giác nhọn ABC, sao cho S = IA + IB + IC là min.
    Thực hiện phép quay tâm B, với góc quay 60 độ biến I thành J và biến A thành A’. Khi đó tam giác BIJ đều, vì BI =BJ và B = 60 độ → BI = IJ. Mặt khác, AI = A’J do phép quay là một phép dời hình biến một đoạn thành một đoạn bằng nó.
    [​IMG]
    Ta có
    • BI = IJ
    • AI = A’J
    Vậy S = A’J + JI + IC. Lại là một đường gấp khúc. Để S min thì I, J phải nằm trên đường thẳng A’C sao cho BIJ là tam giác đều. Vậy cách dựng như sau
    • Bước 1: Dựng A’ là ảnh của A qua phép quay tâm B một góc 60 độ
    • Bước 2: Kẻ BH vuông góc A’C. Sau đó lấy I trên A’C sao cho BHI = 30 độ.
    Vậy I là điểm cần tìm
    [​IMG]
    Trên đây là 3 ví dụ Rocky đưa ra để các bạn nắm được tư tưởng chung về hướng giải quyết một bài toán liên quan đến vấn đề cực trị trong hình học phẳng. Có thể tóm tắt lại là:
    Bước 1: Xây dựng mô hình toán học cho bài toán. Tức là biến bài toán thực tế về ngôn ngữ toán học. Ví dụ trong bài 3 ta biến 3 thành phố A, B, C thành 3 đỉnh của 1 tam giác; quán gà rán KFC là điểm I …
    Bước 2: Giả sử bài toán đã giải xong. Từ đó ta tìm ra những tính chất đặc biệt, rồi suy ngược lại cách dựng.
    Thông thường ta phải biến tổng S thành tổng của các đoạn thẳng, mà các đoạn này lập thành một đường gấp khúc. S min khi đường gấp khúc là một đường thẳng.​
    Hy vọng sẽ có ích cho các bạn.

    :)&gt;-
    From Rocky
     
    Last edited by a moderator: 23 Tháng chín 2010
  17. Giải phương trình :

    1) [tex]\frac{x - 6}{sqrt{4(x-2)(x-5)} + 4} - \frac{x - 11}{sqrt{(x - 2)(x - 10)} + 3} = 1[/tex]

    2) [tex]\frac{-12}{\sqrt[3]{(4x - 4)^2} + 2\sqrt[3]{4x - 4} + 4} + 2x - 5 = 0[/tex]

    ---------------------------------------
    Giúp mình nhé :).
    Thanks :x
     
  18. rocky1208

    rocky1208 Guest

    Hình vẽ đây
    [​IMG]
    a. Tính [TEX]S_{ABC'D'}[/TEX]
    Gọi H, I, K lần lượt là trung điểm của CD, C'D', AB. Gọi O là tâm của đáy.

    • Tính SK = 2a nhờ tam giác vuông SAK
    • Tính SO = [TEX]\sqrt{3}a[/TEX] nhờ tam giác vuông SOA
    Ta có

    • Tam giác vuông SOH và KIH là đồng dạng (vì O = I = 90 độ, H chung) -> IH/ OH= KH/ SH
    • Mà OH = a, KH = 2a, SH = SK = 2a
    Từ đó cho IH = a -> SI = SH - IH = a

    • Tam giác SIC' và SHC đồng dạng nên IC'/ HC = SI/ SH = 1/2
    • -> IC' = 1/2 HC -> C'D' = 1/2 CD = a
    • Xét tam giác IKH, theo pytago tính được IK = [TEX]\sqrt{3}a[/TEX]. Đây là chiều cao của hình thang ABC'D'
    Vậy [TEX]S_{ABC'D'}= \frac{(C'D'+AB)IK}{2} = \frac{3\sqrt{3}a^2}{2}[/TEX]
    b. Tính V của ABCDD'C'
    Ta tính bằng pp gián tiếp:

    • Tính V1 = thể tích của S.ABCD. Chiều cao SO = [TEX]\sqrt{3}a[/TEX] , đáy ABCD có [TEX]S = 4a^2[/TEX]
    • Tính tiếp V2 = thể tích S.ABC'D'. Chiều cao SI = a, đáy ABC'D' có [TEX]S = \frac{(C'D'+AB)IK}{2} = \frac{3\sqrt{3}a^2}{2}[/TEX] vừa tính đc ở trên.
    Trừ đi là ra V cần tìm

    :)&gt;-
    From Rocky
     
  19. rocky1208

    rocky1208 Guest

    Bài 1:
    Phân tích [TEX]x_1^{3}+x_2^{3} = (x_1+x_2)(x_1^2+x_2^2-x_1.x_2)= (x_1+x_2)((x_1+x_2)^2-3.x_1.x_2)[/TEX] (1)
    Áp dụng viet
    [TEX]S= x_1+x_2 = \frac{-b}{a}[/TEX]
    [TEX]P=x_1.x_2= \frac{c}{a}[/TEX]
    Thay 2 cái này vào (1), em sẽ được một hàm theo m. Tìm min max của cái này như bình thường.
    • Điều kiện [TEX]x-1 \geq 0 \Leftrightarrow x\geq1[/TEX]
    • Mũ bốn cả 2 vế ta được một phương trình bậc 4 theo x và tham số m đứng độc lập.
    • Dồn x về một vế, còn lại cho m đứng một vế -> pt dạng f(x)=m. Để phương trình (1) có nghiệm thì đồ thị của f(x) phải cắt đường thẳng y = m trên miền [TEX]x\geq1[/TEX].
    • Em vẽ cái BBT ra rồi kết luận
    :)&gt;-
    From Rocky
     
  20. cho 1 tam giac ABC vuong tai A, AB=c, AC=b, tren duong thang vuong goc voi (ABC) tai A lay S sao cho SA=h. M la diem di chuyen tren SB. I,J la trung diem BC, AB.

    a) tinh do dai doan vuong goc chung SI va AB.

    b) tinh V(BMIC)/V(BSCA)=? khi do dai doan vuong goc chung cua 2 duong thang AC va MJ lon nhat.

    thay va cac ban giai ho minh nha. thanks!
     
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->