Bài 1:Tính góc A của tam giác ABC trong các trường hợp sau:
[tex]1,b(b^{2}-a^{2})=c(c^{^{2}}-a^{2})[/tex] [tex](b\neq c)[/tex]
[tex]2,cosB=\frac{(a+b)(b+c-a)(c+a-b)}{2abc}[/tex]
[tex]3,a^{4}-2(b^{2}+c^{^{2}})a^{2}+b^{4}+b^{2}c^{2}+c^{4}=0[/tex]
Bài 2: Cho tam giác ABC có [tex]\frac{c}{b}=\frac{m_{b}}{m_{c}}\neq 1[/tex] chứng minh rằng
[tex]1, 2a^{2}=b^{2}+c^{^{2}}[/tex]
[tex]2,2cotA=cotB+cotC[/tex]
Bài 1:
câu a:
Hệ thức tương đương với:
[tex]b^{3} - c^{3} = a^{2}b - a^{2}c[/tex]
chuyển vế ta có:
[tex](b-c)(b^{2} + bc + c^{2}) = (b-c)a^{2}[/tex]
vì [tex]b \neq c[/tex] nên suy ra: [tex]b^{2} + c^{2} - a^{2} = -bc[/tex]
mà ta biết công thức tính: cosA = [tex]\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2bc}[/tex]
từ đó thay vào ta có: cosA = -bc / 2bc = -1/2. suy ra A = 120 độ
câu b:
ta biết: cosB = [tex]\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2ca}[/tex]
từ đó suy ra:
[tex]\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2ca}[/tex] = [tex]\frac{(a + b)(b + c - a)(c + a - b)}{2abc}[/tex]
hay:
[tex]bc^{2} + a^{2}b - b^{3} = (a + b)(c^{2} - (a - b)^{2}) = ac^{2} + bc^{2} - a^{3} - b^{3} + ab^{2} + a^{2}b[/tex]
suy ra: [tex]b^{2} + c^{2} - a^{2} = 0[/tex]
vậy cosA = 0 hay A = [tex]90^{\circ}[/tex]
câu c:
áp dụng hằng đẳng thức và biển đổi ta có:
[tex](a^{2} - (b^{2} + c^{2}))^{2} = b^{2}c^{2}[/tex]
suy ra: [tex]b^{2} + c^{2} - a^{2} = \pm bc[/tex]
hay cosA = [tex]\pm \frac{1}{2}[/tex] nên A = [tex]60^{\circ}[/tex] hoặc 120[tex]^{\circ}[/tex]
Bài 2:
câu a:
áp dụng công thức tính trung tuyến:
[tex]m_{b} = \frac{a^{2} + c^{2}}{2} - \frac{b^{2}}{4}[/tex]
[tex]m_{c} = \frac{a^{2} + b^{2}}{2} - \frac{c^{2}}{4}[/tex]
suy ra:
[tex]\frac{c^{2}}{b^{2}} = \frac{2(a^{2} + c^{2}) - b^{2}}{2(a^{2} + b^{2}) - c^{2}}[/tex]
nhân chéo và rút gọn ta có:
[tex](b^{2} + c^{2})(b^{2} - c^{2}) = 2a^{2}(b^{2}-c^{2})[/tex]
do [tex]b\neq c[/tex] nên [tex]b^{2} \neq c^{2}[/tex]
suy ra: [tex]2a^{2} = b^{2}+c^{2}[/tex]
câu b:
áp dụng các công thức:
S = [tex]\frac{abc}{4R}[/tex]
và cosA = [tex]\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}[/tex]
và [tex]\frac{a}{sinA}=2R[/tex]
ta suy ra: cotA = [tex]\frac{cosA}{sinA} = \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{\frac{a}{2R}.2bc} = \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{4S}[/tex]
áp dụng công thức này cũng với cotB và cotC và cộng lại ta có:
cotB + cotC = [tex]\frac{2a^{2}}{4S}[/tex]
kết hợp với câu a suy ra dpcm
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
