- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,706
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
1. Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác
Dạng: [TEX]at^2+bt+c=0[/TEX] trong đó t là sinx, cosx, tanx, cotx....
Giải hoàn toàn như 1 pt bậc hai thông thường của t, sau đó giải trả biến x.
2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Dạng: [TEX]asinx+bcosx=c[/TEX] (1)
Cách 1: xét x thỏa mãn : [tex]cos\frac{x}{2}=0<=>x=\pi +k2\pi[/tex] có là nghiệm của (1) hay không.
Sau đó, đặt [tex]t=tan\frac{x}{2}[/tex]
Ta có: [tex]sinx=2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}=cos^2\frac{x}{2}2tan\frac{x}{2}=2tan\frac{x}{2}\frac{1}{1+tan^2\frac{x}{2}}=\frac{2t}{1+t^2}[/tex]
Tính toán tương tự ta có cosx=[tex]\frac{1-t^2}{1+t^2}[/tex]
2 công thức đổi biến trên không cần chứng minh lại, được áp dụng luôn!
Như vậy (1) trở thành: [tex]a\frac{2t}{1+t^2}+b\frac{1-t^2}{1+t^2}=c<=>(b+c)t^2-2at+c-b=0[/tex]
Là pt bậc 2 của t. Giải như bình thường.
Cách 2: chia cả 2 vế của (1) cho [tex]\sqrt{a^2+b^2}[/tex] ta được:
[tex]\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}sinx+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}cosx=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}[/tex]
Do [tex](\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}})^2+(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}})^2=1[/tex] nên tồn tại a sao cho :
[TEX]cosa=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}[/TEX] , [TEX]sina=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}[/TEX]
Khi đó (1) trở thành:
[tex]sinxcosa+cosxsina=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}<=>sin(x+a)=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}[/tex]
Ta thấy: Nếu [tex]|\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}|>1<=>c^2>a^2 +b^2[/tex] thì pt đã cho vô nghiệm
Nếu [TEX]c^2 \leq b^2+a^2[/TEX] thì pt đã cho có nghiệm. Do đó đây cũng là 1 điều kiện kiểm tra xem pt bậc nhất của sinx và cosx có nghiệm hay không.
Nhận xét: cách 2 nên áp dụng khi mà [TEX]\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}[/TEX] cho ta 1 giá trị góc a đẹp. Còn nếu góc không đẹp thì nên làm theo cách 1.
1. Giải pt: 2sinx+3cosx=1
Xét x thỏa mãn [tex]cos\frac{x}{2}=0[/tex] không là nghiệm
Đặt [tex]t=tan\frac{x}{2}[/tex]
Ta thu được pt: [TEX]4t^2-4t-2=0<=>2t^2-2t-1=0[/TEX]
=> [tex]t=\frac{1+\sqrt{3}}{2}[/tex] <=>
[TEX]tan\frac{x}{2}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}<=>x=2arctan\frac{1+\sqrt{3}}{2}+k2 \pi [/TEX]
hoặc
[tex]t=\frac{1-\sqrt{3}}{2}[/tex] <=>
[TEX]tan\frac{x}{2}=\frac{1-\sqrt{3}}{2}<=>x=2arctan\frac{1-\sqrt{3}}{2}+k2 \pi [/TEX]
3. Phương trình thuần nhất( đẳng cấp ) của sinx và cosx.
Dạng: [TEX]asin^2x+bsinxcosx+ccos^2x=d[/TEX](3)
Cách giải: Xét cosx=0 có là nghiệm hay không.
Xét cosx khác 0, chia cả 2 vế cho [TEX]cos^2x[/TEX] pt (3) trở thành:
[tex]atan^2x+btanx+c=\frac{d}{cos^2x}<=>atan^2x+btanx+c=d(tan^2x+1)<=>(a-d)tan^2x+btanx+c-d=0[/tex]
Là phương trình bậc 2 của tanx. Giải như bình thường.
4. Phương trình đối xứng của sinx và cosx.
Dạng: [TEX]a(sinx+cosx)+bsinxcosx=c[/TEX](4)
Cách giải: Đặt [tex]t=sinx+cosx=>t^2=1+2sinxcosx<=>sinxcosx=\frac{t^2-1}{2}[/tex]
Khi đó (4) trở thành: [tex]at+b\frac{t^2-1}{2}=c<=>bt^2+2at-(b+2c)=0[/tex] là pt bậc 1 của t. Giải nghiệm t như bình thường. Sau đó trả biến x như sau:
Giả sử giả được nghiệm t=u. Ta có: [tex]sinx+cosx=u<=>\sqrt{2}sin(x+\frac{\pi }{4})=u<=>sin(x+\frac{\pi }{4})=\frac{u}{\sqrt{2}}[/tex], về pt cơ bản.
Dạng: [TEX]at^2+bt+c=0[/TEX] trong đó t là sinx, cosx, tanx, cotx....
Giải hoàn toàn như 1 pt bậc hai thông thường của t, sau đó giải trả biến x.
2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Dạng: [TEX]asinx+bcosx=c[/TEX] (1)
Cách 1: xét x thỏa mãn : [tex]cos\frac{x}{2}=0<=>x=\pi +k2\pi[/tex] có là nghiệm của (1) hay không.
Sau đó, đặt [tex]t=tan\frac{x}{2}[/tex]
Ta có: [tex]sinx=2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}=cos^2\frac{x}{2}2tan\frac{x}{2}=2tan\frac{x}{2}\frac{1}{1+tan^2\frac{x}{2}}=\frac{2t}{1+t^2}[/tex]
Tính toán tương tự ta có cosx=[tex]\frac{1-t^2}{1+t^2}[/tex]
2 công thức đổi biến trên không cần chứng minh lại, được áp dụng luôn!
Như vậy (1) trở thành: [tex]a\frac{2t}{1+t^2}+b\frac{1-t^2}{1+t^2}=c<=>(b+c)t^2-2at+c-b=0[/tex]
Là pt bậc 2 của t. Giải như bình thường.
Cách 2: chia cả 2 vế của (1) cho [tex]\sqrt{a^2+b^2}[/tex] ta được:
[tex]\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}sinx+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}cosx=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}[/tex]
Do [tex](\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}})^2+(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}})^2=1[/tex] nên tồn tại a sao cho :
[TEX]cosa=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}[/TEX] , [TEX]sina=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}[/TEX]
Khi đó (1) trở thành:
[tex]sinxcosa+cosxsina=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}<=>sin(x+a)=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}[/tex]
Ta thấy: Nếu [tex]|\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}|>1<=>c^2>a^2 +b^2[/tex] thì pt đã cho vô nghiệm
Nếu [TEX]c^2 \leq b^2+a^2[/TEX] thì pt đã cho có nghiệm. Do đó đây cũng là 1 điều kiện kiểm tra xem pt bậc nhất của sinx và cosx có nghiệm hay không.
Nhận xét: cách 2 nên áp dụng khi mà [TEX]\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}[/TEX] cho ta 1 giá trị góc a đẹp. Còn nếu góc không đẹp thì nên làm theo cách 1.
1. Giải pt: 2sinx+3cosx=1
Xét x thỏa mãn [tex]cos\frac{x}{2}=0[/tex] không là nghiệm
Đặt [tex]t=tan\frac{x}{2}[/tex]
Ta thu được pt: [TEX]4t^2-4t-2=0<=>2t^2-2t-1=0[/TEX]
=> [tex]t=\frac{1+\sqrt{3}}{2}[/tex] <=>
[TEX]tan\frac{x}{2}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}<=>x=2arctan\frac{1+\sqrt{3}}{2}+k2 \pi [/TEX]
hoặc
[tex]t=\frac{1-\sqrt{3}}{2}[/tex] <=>
[TEX]tan\frac{x}{2}=\frac{1-\sqrt{3}}{2}<=>x=2arctan\frac{1-\sqrt{3}}{2}+k2 \pi [/TEX]
3. Phương trình thuần nhất( đẳng cấp ) của sinx và cosx.
Dạng: [TEX]asin^2x+bsinxcosx+ccos^2x=d[/TEX](3)
Cách giải: Xét cosx=0 có là nghiệm hay không.
Xét cosx khác 0, chia cả 2 vế cho [TEX]cos^2x[/TEX] pt (3) trở thành:
[tex]atan^2x+btanx+c=\frac{d}{cos^2x}<=>atan^2x+btanx+c=d(tan^2x+1)<=>(a-d)tan^2x+btanx+c-d=0[/tex]
Là phương trình bậc 2 của tanx. Giải như bình thường.
4. Phương trình đối xứng của sinx và cosx.
Dạng: [TEX]a(sinx+cosx)+bsinxcosx=c[/TEX](4)
Cách giải: Đặt [tex]t=sinx+cosx=>t^2=1+2sinxcosx<=>sinxcosx=\frac{t^2-1}{2}[/tex]
Khi đó (4) trở thành: [tex]at+b\frac{t^2-1}{2}=c<=>bt^2+2at-(b+2c)=0[/tex] là pt bậc 1 của t. Giải nghiệm t như bình thường. Sau đó trả biến x như sau:
Giả sử giả được nghiệm t=u. Ta có: [tex]sinx+cosx=u<=>\sqrt{2}sin(x+\frac{\pi }{4})=u<=>sin(x+\frac{\pi }{4})=\frac{u}{\sqrt{2}}[/tex], về pt cơ bản.
