Toán 11 1 số phương trình lượng giác cơ bản.

Thảo luận trong 'Hàm số và phương trình lượng giác' bắt đầu bởi Tiến Phùng, 18 Tháng bảy 2019.

Lượt xem: 227

  1. Tiến Phùng

    Tiến Phùng Cố vấn Toán Cố vấn chuyên môn

    Bài viết:
    3,498
    Điểm thành tích:
    476
    Nơi ở:
    Hà Nội
    Trường học/Cơ quan:
    Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
    Sở hữu bí kíp ĐỖ ĐẠI HỌC ít nhất 24đ - Đặt chỗ ngay!

    Đọc sách & cùng chia sẻ cảm nhận về sách số 2


    Chào bạn mới. Bạn hãy đăng nhập và hỗ trợ thành viên môn học bạn học tốt. Cộng đồng sẽ hỗ trợ bạn CHÂN THÀNH khi bạn cần trợ giúp. Đừng chỉ nghĩ cho riêng mình. Hãy cho đi để cuộc sống này ý nghĩa hơn bạn nhé. Yêu thương!

    1. Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác

    Dạng: [TEX]at^2+bt+c=0[/TEX] trong đó t là sinx, cosx, tanx, cotx....

    Giải hoàn toàn như 1 pt bậc hai thông thường của t, sau đó giải trả biến x.

    2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

    Dạng: [TEX]asinx+bcosx=c[/TEX] (1)

    Cách 1: xét x thỏa mãn : [tex]cos\frac{x}{2}=0<=>x=\pi +k2\pi[/tex] có là nghiệm của (1) hay không.

    Sau đó, đặt [tex]t=tan\frac{x}{2}[/tex]

    Ta có: [tex]sinx=2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}=cos^2\frac{x}{2}2tan\frac{x}{2}=2tan\frac{x}{2}\frac{1}{1+tan^2\frac{x}{2}}=\frac{2t}{1+t^2}[/tex]

    Tính toán tương tự ta có cosx=[tex]\frac{1-t^2}{1+t^2}[/tex]

    2 công thức đổi biến trên không cần chứng minh lại, được áp dụng luôn!

    Như vậy (1) trở thành: [tex]a\frac{2t}{1+t^2}+b\frac{1-t^2}{1+t^2}=c<=>(b+c)t^2-2at+c-b=0[/tex]

    Là pt bậc 2 của t. Giải như bình thường.

    Cách 2: chia cả 2 vế của (1) cho [tex]\sqrt{a^2+b^2}[/tex] ta được:

    [tex]\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}sinx+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}cosx=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}[/tex]

    Do [tex](\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}})^2+(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}})^2=1[/tex] nên tồn tại a sao cho :

    [TEX]cosa=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}[/TEX] , [TEX]sina=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}[/TEX]

    Khi đó (1) trở thành:

    [tex]sinxcosa+cosxsina=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}<=>sin(x+a)=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}[/tex]

    Ta thấy: Nếu [tex]|\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}|>1<=>c^2>a^2 +b^2[/tex] thì pt đã cho vô nghiệm

    Nếu [TEX]c^2 \leq b^2+a^2[/TEX] thì pt đã cho có nghiệm. Do đó đây cũng là 1 điều kiện kiểm tra xem pt bậc nhất của sinx và cosx có nghiệm hay không.

    Nhận xét: cách 2 nên áp dụng khi mà [TEX]\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}[/TEX] cho ta 1 giá trị góc a đẹp. Còn nếu góc không đẹp thì nên làm theo cách 1.

    1. Giải pt: 2sinx+3cosx=1

    Xét x thỏa mãn [tex]cos\frac{x}{2}=0[/tex] không là nghiệm
    Đặt [tex]t=tan\frac{x}{2}[/tex]

    Ta thu được pt: [TEX]4t^2-4t-2=0<=>2t^2-2t-1=0[/TEX]

    => [tex]t=\frac{1+\sqrt{3}}{2}[/tex] <=>
    [TEX]tan\frac{x}{2}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}<=>x=2arctan\frac{1+\sqrt{3}}{2}+k2 \pi
    [/TEX]

    hoặc
    [tex]t=\frac{1-\sqrt{3}}{2}[/tex] <=>
    [TEX]tan\frac{x}{2}=\frac{1-\sqrt{3}}{2}<=>x=2arctan\frac{1-\sqrt{3}}{2}+k2 \pi
    [/TEX]

    3. Phương trình thuần nhất( đẳng cấp ) của sinx và cosx.

    Dạng: [TEX]asin^2x+bsinxcosx+ccos^2x=d[/TEX](3)

    Cách giải: Xét cosx=0 có là nghiệm hay không.
    Xét cosx khác 0, chia cả 2 vế cho [TEX]cos^2x[/TEX] pt (3) trở thành:

    [tex]atan^2x+btanx+c=\frac{d}{cos^2x}<=>atan^2x+btanx+c=d(tan^2x+1)<=>(a-d)tan^2x+btanx+c-d=0[/tex]

    Là phương trình bậc 2 của tanx. Giải như bình thường.

    4. Phương trình đối xứng của sinx và cosx.

    Dạng: [TEX]a(sinx+cosx)+bsinxcosx=c[/TEX](4)

    Cách giải: Đặt [tex]t=sinx+cosx=>t^2=1+2sinxcosx<=>sinxcosx=\frac{t^2-1}{2}[/tex]

    Khi đó (4) trở thành: [tex]at+b\frac{t^2-1}{2}=c<=>bt^2+2at-(b+2c)=0[/tex] là pt bậc 1 của t. Giải nghiệm t như bình thường. Sau đó trả biến x như sau:
    Giả sử giả được nghiệm t=u. Ta có: [tex]sinx+cosx=u<=>\sqrt{2}sin(x+\frac{\pi }{4})=u<=>sin(x+\frac{\pi }{4})=\frac{u}{\sqrt{2}}[/tex], về pt cơ bản.
     
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->