1 bài toán trong kì thi HSG ở Hungary, thách tất cả dân pro toán

[milu_dog]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm số ab (ab là số có 2 chữ số, số hàng chục là a hàng đv là b chứ ko phải tìm số a nhân b) sao cho [TEX]\frac{a.b}{|a-b|}[/TEX] là số nguyên tố.

 

[conami]

Giả sử a[TEX]\geq[/TEX]b
Đặt p=[TEX]\frac{a.b}{/a-b/}[/TEX]
=> p.a - p.b = ab
=> (p+a)(p-b)=p^2
Vì p+a và p-b không đồng thời = 0 nên p+a=p^2 và p-b=1
Lại có 1[TEX]\leq[/TEX]a[TEX]\leq[/TEX]9 => p[TEX]\leq[/TEX]3
lần lượt thay p=2 và p=3 ta có
Với p=2 thì (a+2)(2-b) = 4
Mà a+ 2 và 4 dương nên 2-b dương, b nguyên nên b=1 => a=2
Với p=3 thì (a+3)(3-b)=9
Lập luận tương tự như trên và 3-b là ước của 9 => b=2=> a=6
Vậy các số cần tìm là 21;12;26;62

 

[milu_dog]

Nhân tài Việt Nam còn nhiều quá, có lẽ bạn sẽ là Ngô Bảo Châu đó

 

[conami]

Sao lại nói thế, so sánh linh tinh quá, chuyện bài thi của nước khác học sinh VN làm được có gì lạ đâu. Bài trên thực ra đã vào đề thi Toàn quốc lớp 9 của VN cách đây đến mười mấy năm rồi.
Bài dưới đây là 1 bài của IMO này, các bạn làm nhé:
Cho a,b là 2 số nguyên dương sao cho A=[TEX]\frac{a^2+b^2}{ab+1}[/TEX] là số nguyên. CM A là số chính phương