[Toán 10] Tổng hợp những bài toán hay về hàm số

omaikoll said:

Câu 1: Cho hs y = 1/√(x - a) - √(2a + 4 - x). Tìm điều kiện của tham số a để hàm số xác định với mọi x thuộc (-1;0)
Câu 2: Xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số y = √(x-1) trên khoảng (1; + vô cùng)
[FONT=&quot]Câu 3: Cho hs y = x^2 + 2mx - 2m - 5 (P). Biết rằng (P) cắt trục hoành tại hai điểm A , B phân biệt với mọi m thuộc R. Tìm m để đoạn AB = 2√5

[/FONT]

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Câu [imath]1[/imath] [imath]:[/imath]

Đề là [imath]y=\frac{1}{\sqrt{x-a}}-\sqrt{2a+4-x}[/imath] hay là [imath]y=\frac{1}{\sqrt{x-a}-\sqrt{2a+4-x}}[/imath] [imath]?[/imath]

omaikoll said:

Câu 1: Cho hs y = 1/√(x - a) - √(2a + 4 - x). Tìm điều kiện của tham số a để hàm số xác định với mọi x thuộc (-1;0)
Câu 2: Xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số y = √(x-1) trên khoảng (1; + vô cùng)
[FONT=&quot]Câu 3: Cho hs y = x^2 + 2mx - 2m - 5 (P). Biết rằng (P) cắt trục hoành tại hai điểm A , B phân biệt với mọi m thuộc R. Tìm m để đoạn AB = 2√5

[/FONT]

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Câu [imath]2[/imath] [imath]:[/imath]

Ta có hàm số [imath]y = \sqrt{x - 1}[/imath].
Áp dụng công thức đạo hàm [imath](\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}[/imath], ta được:
[math]y' = \frac{(x - 1)'}{2\sqrt{x - 1}} = \frac{1}{2\sqrt{x - 1}}[/math]Với mọi [imath]x \in (1; +\infty)[/imath], ta có [imath]x > 1 \Rightarrow x - 1 > 0[/imath].
Do đó, [imath]\sqrt{x - 1} > 0[/imath], dẫn đến:
[math]y' = \frac{1}{2\sqrt{x - 1}} > 0, \quad \forall x \in (1; +\infty)[/math]Vì đạo hàm [imath]y' > 0[/imath] trên toàn bộ khoảng [imath](1; +\infty)[/imath], nên hàm số đồng biến trên khoảng này. Hàm số không có khoảng nghịch biến.

omaikoll said:

Câu 1: Cho hs y = 1/√(x - a) - √(2a + 4 - x). Tìm điều kiện của tham số a để hàm số xác định với mọi x thuộc (-1;0)
Câu 2: Xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số y = √(x-1) trên khoảng (1; + vô cùng)
[FONT=&quot]Câu 3: Cho hs y = x^2 + 2mx - 2m - 5 (P). Biết rằng (P) cắt trục hoành tại hai điểm A , B phân biệt với mọi m thuộc R. Tìm m để đoạn AB = 2√5

[/FONT]

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Câu [imath]3[/imath] [imath]:[/imath]

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol [imath](P)[/imath] và trục hoành (đường thẳng [imath]y = 0[/imath]) là:
[math]x^2 + 2mx - 2m - 5 = 0 \quad (1)[/math]Đề bài đã cho biết [imath](P)[/imath] luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi [imath]m[/imath]. Ta có biểu thức [imath]\Delta'[/imath]:
[math]\Delta' = m^2 - 1(-2m - 5) = m^2 + 2m + 5 = (m+1)^2 + 4[/math]Vì [imath](m+1)^2 \ge 0[/imath] nên [imath]\Delta' \ge 4 > 0[/imath] với mọi số thực [imath]m[/imath]. Do đó, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt [imath]x_A[/imath] và [imath]x_B[/imath] với mọi số thực [imath]m[/imath].
Với [imath]x_A, x_B[/imath] là hai hoành độ giao điểm, theo định lý Viète ta có hệ thức:

• Tổng hai nghiệm: [imath]x_A + x_B = -2m[/imath]
• Tích hai nghiệm: [imath]x_A \cdot x_B = -2m - 5[/imath]

Vì [imath]A[/imath] và [imath]B[/imath] nằm trên trục hoành nên tung độ của chúng bằng [imath]0[/imath]. Độ dài đoạn thẳng [imath]AB[/imath] chính là khoảng cách giữa hai hoành độ:
[math]AB = |x_A - x_B|[/math]Theo giả thiết [imath]AB = 2\sqrt{5}[/imath], ta có:
[math]|x_A - x_B| = 2\sqrt{5}[/math][math]\Leftrightarrow (x_A - x_B)^2 = 20[/math][math]\Leftrightarrow x_A^2 - 2x_A x_B + x_B^2 = 20[/math][math]\Leftrightarrow (x_A + x_B)^2 - 4x_A x_B = 20[/math]Thay các biểu thức từ định lý Viète ở trên vào phương trình vừa biến đổi:
[math](-2m)^2 - 4(-2m - 5) = 20[/math][math]\Leftrightarrow 4m^2 + 8m + 20 = 20[/math][math]\Leftrightarrow 4m^2 + 8m = 0[/math][math]\Leftrightarrow 4m(m + 2) = 0[/math]Giải phương trình này, ta tìm được hai giá trị của [imath]m[/imath]:

• [imath]m = 0[/imath]
• [imath]m = -2[/imath]

Kết luận:
Để đoạn thẳng [imath]AB = 2\sqrt{5}[/imath], tham số [imath]m[/imath] cần nhận giá trị là [imath]m = 0[/imath] hoặc [imath]m = -2[/imath].