Toán 9 Toán rời rạc HSG

Gọi ABC là tam giác có diện tích lớn nhất. Qua A, B, C vẽ 3 đường thẳng song song cạnh đối diện, chúng cắt nhau tại D, E, F
[tex]\Rightarrow S_{ABC}=S_{ACE}=S_{BCF}=S_{ABD} \leq 1[/tex]
[tex]S_{DEF} = 4S_{ABC} \leq 4[/tex]
Dễ dàng chứng minh 2020 điểm đã cho đều nằm trọn trong tam giác DEF (hoặc trên các cạnh) bằng phản chứng: giả sử tồn tại điểm M nào đó nằm ngoài DEF như hình vẽ thì [tex]d(M/BC)>d(A/BC)\Rightarrow S_{MBC}>S_{ABC}[/tex] trái giả thiết ABC là tam giác có diện tích lớn nhất)
Lấy các trung điểm I, G, H của AB, AC, BC và nối lại như hình ta được 8 tam giác có diện tích S bằng nhau và [tex]S=\dfrac{1}{2}S_{ABC} \leq \dfrac{1}{2}[/tex]
Theo nguyên lý Dirichlet, trong 8 tam giác đã cho luôn tồn tại ít nhất một tam giác có chứa không ít hơn [tex][\dfrac{2020}{8}]+1=253[/tex] điểm