Toán 9 Cực trị

bạn viết lại đề rõ hơn được ko mình ko hiểu lắm mình lỡ ấn gửi trả lời thôi

Bài này điểm rơi khó quá, lúc đầu nghĩ theo hướng này mà nhận ra điểm rơi không đúng.
Áp dụng bđt AM-GM:
[tex]P=\sum_{cyc}^{}a\sqrt{b^{3}+1}=\sum_{cyc}^{}a\sqrt{(b+1)(b^{2}-b+1)}\leqslant \sum_{cyc}^{}a.\frac{(b+1)+(b^{2}-b+1)}{2}=\sum_{cyc}^{}a(\frac{b^{2}}{2}+1)[/tex]
[tex]\Rightarrow P\leqslant \frac{ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}}{2}+a+b+c=\frac{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}{2(a+b+c)}+3[/tex] [tex]\leqslant \frac{abc(a+b+c)}{2(a+b+c)}+3[/tex]
Giúp với!

Bạn cần để ý rằng [tex]a\sqrt{(b+1)(b^2-b+1)}\leq \frac{1}{2}a(b^2+2)[/tex] có tới 3 khả năng xảy ra dấu "=": [tex]a=0[/tex] hoặc [tex]b=0[/tex] hoặc [tex]b=2[/tex]
Tiếp theo BĐT ở dạng hoán vị biến nên ko mất tính tổng quát, ta có thể giả sử [tex]a=mid\left \{ a;b;c \right \}[/tex]
[tex]\Rightarrow (a-b)(a-c)\leq 0\Leftrightarrow a^2+bc\leq ab+ac\Leftrightarrow a^2c+bc^2\leq abc+ac^2[/tex]
Do đó:
[tex]ab^2+bc^2+ca^2\leq ab^2+ac^2+abc\leq ab^2+ac^2+2abc=a(b+c)^2=\frac{1}{2}.2a(b+c)(b+c)\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{2a+2b+2c}{27} \right )^3[/tex]