Toán 9 Chứng minh

Ta có: \[2013a+bc=(a+b+c)a+bc={{a}^{2}}+ab+ac+bc=a(a+b)+c(a+b)=(a+b)(a+c)\]
Áp dụng BĐT buanhia ta có [tex] (a+b)(c+a)\ge {{\left( \sqrt{ac}+\sqrt{ab} \right)}^{2}} \Rightarrow \,\sqrt{2013a+bc}\ge \sqrt{ac}+\sqrt{ab}\,\,\\ \Rightarrow \,\,a+\sqrt{2013a+bc}\,\,\ge a+\sqrt{ac}+\sqrt{ab} \Rightarrow \,\,\frac{a}{a+\sqrt{2013a+bc}}\le \frac{a}{a+\sqrt{ac}+\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{c}+\sqrt{b}} [/tex]
Chứng minh tương tự ta có:
[tex] \,\frac{b}{b+\sqrt{2013b+ac}}\le \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}+\sqrt{a}+\sqrt{c}}\,;\,\,\frac{c}{c+\sqrt{2013c+ab}}\le \frac{\sqrt{c}}{\sqrt{c}+\sqrt{a}+\sqrt{a}} [/tex]
Cộng từng vế các bất dẳng thức ta được
[tex]\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=1 [/tex] (đpcm)
Dấu “=” xảy ra khi [tex] a=b=c=\frac{2013}{3}=671 [/tex]