Toán 9 Chứng Minh

Áp dụng Fermat nhỏ là ra thôi bạn, có gì khó?

Không quen gõ công thức trên này
Ta có: [tex]2^{2n+1}=2.4^{n}=2.(3+1)^{n}= 6k+2[/tex]
[tex]\rightarrow 2^{2^{2n+1}}+31=2^{6k+2}+31=2^{6k}.4+31=4(2^{6k}-1)+35[/tex]
Theo Fermat nhỏ, ta có: [tex]2^{6k}-1[/tex] chia hết cho 7 và 35 cũng chia hết cho 7
[tex]\rightarrow 2^{2^{2n+1}}+31[/tex] chia hết cho 7 [tex]\rightarrow 2^{2^{2n+1}}+31[/tex] là hợp số với mọi số tự nhiên n

Nguyễn Thị Ngọc Thơ said:

Không quen gõ công thức trên này
Ta có: [tex]2^{2n+1}=2.4^{n}=2.(3+1)^{n}= 6k+2[/tex]
[tex]\rightarrow 2^{2^{2n+1}}+31=2^{6k+2}+31=2^{6k}.4+31=4(2^{6k}-1)+35[/tex]
Theo Fermat nhỏ, ta có: [tex]2^{6k}-1[/tex] chia hết cho 7 và 35 cũng chia hết cho 7
[tex]\rightarrow 2^{2^{2n+1}}+31[/tex] chia hết cho 7 [tex]\rightarrow 2^{2^{2n+1}}+31[/tex] là hợp số với mọi số tự nhiên n

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

E là Thơ bên hoc24 à, bài này cần gì Fermat, đồng dư thôi mà, e học nhanh thế

bạn dùng qui nạp cũng được đó
Bài này mình làm r
Bạn có thể tham khảo cách làm qui nạp trên mạng đấy

Cao Việt Hoàng said:

dồng dư như thế này hả bạn
ta có [tex]2^{2n+1}=2.2^{2n}\equiv 2(mod 6)[/tex] suy ra [tex]2^{2n+1}=6k+2[/tex] ([tex]k\in N[/tex])
[tex]2^{2^{2n+1}}=2^{6k+2}=4.64^{k}\equiv 4(mod 7)[/tex]
=>[tex]2^{2^{2n+1}}+31\equiv 0(mod 7)[/tex]
mà [tex]2^{2^{2n+1}}+31> 7[/tex]
vậy [tex]2^{2^{2n+1}}+31[/tex] là hợp số (dpcm)
bạn có bài đồng dư nào ko cho mình xin zs, mình yếu mấy cái này lắm

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

sai rồi kìa bạn ơi [tex]2^{2^{2n+1}}[/tex] mà

Cao Việt Hoàng said:

dòng thứ mấy vậy bạn
cho mình xin cách qui nạp lun

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

à mình lộn ấy mà
Với n=1
[tex]2^{2^{2+1}}+31=2^{2^{3}}+31=287[/tex] chia hết cho 7
Cho [tex]2^{2^{2n+1}}+31[/tex] chia hết cho 7 với n=k
[tex]\Rightarrow 2^{2^{2k+1}}+31[/tex] chia hết cho 7
Với n=k+1
[tex]2^{2^{2n+1}}+31=2^{2^{2k+2+1}}+31=2^{2^{2k+1}.2^2}+31=(2^{2^{2k+1}})^4+31=(2^{2^{2k+1}})^4-31^4+31+31^4[/tex]
Mà 31+31^4 chia hết cho 7 và [tex](2^{2^{2k+1}})^4-31^4[/tex] chia hết cho [tex](2^{2^{2k+1}}+31)[/tex]
Mặt khác : [tex] 2^{2^{2k+1}}+31[/tex] chia hết cho 7 ( đã cm)
Nên theo qui nạp ta có [tex] 2^{2^{2n+1}}+31[/tex] chia hết cho 7
mà [tex] 2^{2^{2n+1}}+31[/tex] > 7
Nên đpcm

Kinami Syrex said:

à mình lộn ấy mà
Với n=1
[tex]2^{2^{2+1}}+31=2^{2^{3}}+31=287[/tex] chia hết cho 7
Cho [tex]2^{2^{2n+1}}+31[/tex] chia hết cho 7 với n=k
[tex]\Rightarrow 2^{2^{2k+1}}+31[/tex] chia hết cho 7
Với n=k+1
[tex]2^{2^{2n+1}}+31=2^{2^{2k+2+1}}+31=2^{2^{2k+1}.2^2}+31=(2^{2^{2k+1}})^4+31=(2^{2^{2k+1}})^4-31^4+31+31^4[/tex]
Mà 31+31^4 chia hết cho 7 và [tex](2^{2^{2k+1}})^4-31^4[/tex] chia hết cho [tex](2^{2^{2k+1}}+31)[/tex]
Mặt khác : [tex] 2^{2^{2k+1}}+31[/tex] chia hết cho 7 ( đã cm)
Nên theo qui nạp ta có [tex] 2^{2^{2n+1}}+31[/tex] chia hết cho 7
mà [tex] 2^{2^{2n+1}}+31[/tex] > 7
Nên đpcm

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

cách trên thì nó áp dụng với mấy bài cao hơn, bạn cũng k nhất thiết phải làm theo cách này

Cao Việt Hoàng said:

thiếu xét n=0 rùi bạn ơi

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

nó chỉ xét với n=1 là được rồi, còn n=0 thì có hay không đều được

Học Trò Của Sai Lầm said:

E là Thơ bên hoc24 à, bài này cần gì Fermat, đồng dư thôi mà, e học nhanh thế

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Anh là... ?
À, tại Fermat hay được áp dụng cho những loại này ở cuộc thi Tỉnh, nên thầy em dạy ý mà ^^