Toán 8 hình học

câu a
ta có: P là trung điểm của BC
N là trung điểm của AC
=> PN là đg trung bình => PN // AB
mà M thuộc AB
P,N,Q thẳng hàng
=> PMAQ là hình thang ( PQ // AM)

b, ta có:
M là trung điểm của AB
N là trung điểm của AC
=> MN là đg trung bình => MN // BC; MN = 1/2 BC
mà BM = NC = 1/2 AB = 1/2 AC ( AB = AC )
=> BMNC là hình thang cân

C, từ c/m câu a, ta có: AM // PQ
Ta có PN = QN ( giả thiết)
mà PN = 1/2 AB ( vì PN là đg trung bình)
=> PN + QN = AB
=> ABPQ là hình bình hành ( có cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

d, ta có PN // AM ( c/m câu a)
PN = AM = 1/2 AB ( c/m câu c) (1)
( c/m tương tự các câu trên ta được MP là đường trung bình)
=> MP // AC, MP = 1/2 AC = AN (2)
từ (1), (2) => AMPN là hình thoi

e, ta có ABPQ là hình bình hành
mà BP = PC; B,P,C thẳng hàng
=> AQ = PC; AQ // PC (1)
vì tam giác ACB là tam giác cân => AP vừa là trung trực vừa là đg cao (2)
từ (1), (2) => APCQ là hình chữ nhật

e, giả sử APCQ là hình vuông thì ta có:
AP = PC mà tam giác APC là tam giác vuông ( AP vuông góc với BC )
=> góc PAC = góc C = 45 độ
=> tam giác APC là tam giác vuông cân
mà tam giác ABC là tam giác cân nên B = C = 45 độ
=> góc A = 90 độ ( theo tổng 3 góc của tam giác )
=> tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A
Vậy để APCQ là hình vuông thì tam giác ABC phải là tam giác vuông cân tại A