Toán [Lớp 8] Tìm min, max của biểu thức

1.
Ta có:
[tex]A = ab + \frac{1}{ab} = ab + \frac{1}{16ab} + \frac{15}{16ab}[/tex]
Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:
[tex]ab + \frac{1}{16ab} \geq 2\sqrt{ab.\frac{1}{16ab}} = \frac{1}{2}[/tex] (1)
Vì [tex]ab \leq \frac{(a + b)^2}{4} \Rightarrow \frac{15}{16ab} \geq \frac{15}{4(a + b)^2}[/tex] (2)
(1), (2) [tex]ab + \frac{1}{ab} \geq \frac{17}{4}[/tex]
Dấu "=" xảy ra <=> [tex]a = b = \frac{1}{2}[/tex]
Vậy Min A = [tex]\frac{17}{4}[/tex] <=> [tex]a = b = \frac{1}{2}[/tex]
2.
Ta có:
[tex]B = a + b + c + \frac{3}{a} + \frac{9}{b} + \frac{4}{c}[/tex]
[tex]= \frac{1}{4}(a + 2b + 3c) + \frac{3a}{4} + \frac{3}{a} + \frac{b}{2} + \frac{9}{2b} + \frac{c}{4} + \frac{4}{c}[/tex]
Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:
[tex]\frac{3a}{4} + \frac{3}{a} \geq 2\sqrt{\frac{3a}{4}.\frac{3}{a}} = 3[/tex] (1)
Dấu "=" xảy ra <=> a = 2
[tex]\frac{b}{2} + \frac{9}{2b} \geq 2\sqrt{\frac{b}{2}.\frac{9}{2b}} = 3[/tex] (2)
Dấu "=" xảy ra <=> b = 3
[tex]\frac{c}{4} + \frac{4}{c} \geq 2\sqrt{\frac{c}{4}.\frac{4}{c}} = 2[/tex] (3)
Dấu "=" xảy ra <=> c = 4
[tex]\frac{1}{4}(a + 2b + 3c) \geq 5[/tex] (giả thiết) (4)
(1), (2), (3), (4) => [tex]B \geq 3 + 3 + 2 + 5 = 13[/tex]
Dấu "=" xảy ra <=> a = 2; b = 3; c = 4

Bài 3 :
Ta có:
$ C = \dfrac{1}{2x + y + z} + \dfrac{1}{x + 2y + z} + \dfrac{1}{x + y + 2z}\\
\Leftrightarrow 4C = \dfrac{4}{2x + y + z} + \dfrac{4}{x + 2y + z} + \dfrac{4}{x + y + 2z}\\
\Leftrightarrow 4C \leq \dfrac{1}{x + y} + \dfrac{1}{x + z} + \dfrac{1}{x + y} + \dfrac{1}{y + z} + \dfrac{1}{x + z} + \dfrac{1}{y + z} \leq 2(\dfrac{1}{x + y} + \dfrac{1}{y + z} + \dfrac{1}{x + z}) \\
\leq \dfrac{1}{x + y} + \dfrac{1}{y + z} + \dfrac{1}{x + z} \\
\leq \dfrac{1}{4}.2.(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}) = 2\\
\Leftrightarrow C \leq 1$
$Max_{C} = 1$ khi $x = y = z = \dfrac{3}{4}$

thang1112004 said:

2.
Ta có:
[tex]B = a + b + c + \frac{3}{a} + \frac{9}{b} + \frac{4}{c}[/tex]
[tex]= \frac{1}{4}(a + 2b + 3c) + \frac{3a}{4} + \frac{3}{a} + \frac{b}{2} + \frac{9}{2b} + \frac{c}{4} + \frac{4}{c}[/tex]
Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:
[tex]\frac{3a}{4} + \frac{3}{a} \geq 2\sqrt{\frac{3a}{4}.\frac{3}{a}} = 3[/tex] (1)
Dấu "=" xảy ra <=> a = 2
[tex]\frac{b}{2} + \frac{9}{2b} \geq 2\sqrt{\frac{b}{2}.\frac{9}{2b}} = 3[/tex] (2)
Dấu "=" xảy ra <=> b = 3
[tex]\frac{c}{4} + \frac{4}{c} \geq 2\sqrt{\frac{c}{4}.\frac{4}{c}} = 2[/tex] (3)
Dấu "=" xảy ra <=> c = 4
[tex]\frac{1}{4}(a + 2b + 3c) \geq 5[/tex] (giả thiết) (4)
(1), (2), (3), (4) => [tex]B \geq 3 + 3 + 2 + 5 = 13[/tex]
Cho mình hỏi làm sao tách được như vậy

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Dự đoán điểm rơi rồi dựa vào điểm rơi để tách nha bạn .

candyiukeo2606 said:

1.
Ta có:
[tex]A = ab + \frac{1}{ab} = ab + \frac{1}{16ab} + \frac{15}{16ab}[/tex]
Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:
[tex]ab + \frac{1}{16ab} \geq 2\sqrt{ab.\frac{1}{16ab}} = \frac{1}{2}[/tex] (1)
Vì [tex]ab \leq \frac{(a + b)^2}{4} \Rightarrow \frac{15}{16ab} \geq \frac{15}{4(a + b)^2}[/tex] (2)
(1), (2) [tex]ab + \frac{1}{ab} \geq \frac{17}{4}[/tex]
Dấu "=" xảy ra <=> [tex]a = b = \frac{1}{2}[/tex]
Vậy Min A = [tex]\frac{17}{4}[/tex] <=> [tex]a = b = \frac{1}{2}[/tex]
2.
Ta có:
[tex]B = a + b + c + \frac{3}{a} + \frac{9}{b} + \frac{4}{c}[/tex]
[tex]= \frac{1}{4}(a + 2b + 3c) + \frac{3a}{4} + \frac{3}{a} + \frac{b}{2} + \frac{9}{2b} + \frac{c}{4} + \frac{4}{c}[/tex]
Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:
[tex]\frac{3a}{4} + \frac{3}{a} \geq 2\sqrt{\frac{3a}{4}.\frac{3}{a}} = 3[/tex] (1)
Dấu "=" xảy ra <=> a = 2
[tex]\frac{b}{2} + \frac{9}{2b} \geq 2\sqrt{\frac{b}{2}.\frac{9}{2b}} = 3[/tex] (2)
Dấu "=" xảy ra <=> b = 3
[tex]\frac{c}{4} + \frac{4}{c} \geq 2\sqrt{\frac{c}{4}.\frac{4}{c}} = 2[/tex] (3)
Dấu "=" xảy ra <=> c = 4
[tex]\frac{1}{4}(a + 2b + 3c) \geq 5[/tex] (giả thiết) (4)
(1), (2), (3), (4) => [tex]B \geq 3 + 3 + 2 + 5 = 13[/tex]
Dấu "=" xảy ra <=> a = 2; b = 3; c = 4

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Bạn xem lại câu 2 nha! Hình như không đúng !
Bạn thử thế $a=2,b=3,c=4$ lại đi, $B \neq 13$ !

lengoctutb said:

Bạn xem lại câu 2 nha! Hình như không đúng !
Bạn thử thế $a=2,b=3,c=4$ lại đi, $B \neq 13$ !

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

a = 2; b = 3; c = 4 => [tex]a + b + c + \frac{3}{a} + \frac{9}{2b} + \frac{4}{c} = 2 + 3 + 4 + \frac{3}{2} + \frac{3}{2} + 1 = 13[/tex] =))

thang1112004 said:

1 cho a,b >0 và a+b <= 1 Tìm min của A= ab + 1/ab
2 cho a,b,c >0 và a+2b+3c>=20 tìm min của B=a + b + c + 3/a + 9/2b +4/c
3 cho x,y,z>0 thỏa mãn 1/x +1/y +1/z = 4 tìm max của C=1/2x+y+z + 1/x+2y+z + 1/x+y+2z
4 cho x,y >0 thỏa mãn x+y=2 chứng minh x^2*y^2*(x^2+y^2) <= 2

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

4) [tex]\left\{\begin{matrix} 2xy(x^2+y^2)\leq \frac{(x+y)^4}{2}\\ xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}\\ \end{matrix}\right.[/tex]
Nhân lại ta có đpcm

thang1112004 said:

sai roi thi phai nhan lai la be hon hoac bang 4

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

=.= sr mình nhầm
Cái này áp dụng cô si 3 số như sau
[tex]x^{2}y^{2}(x^2+y^2)=\frac{1}{4}(2xy)(2xy)(x^2+y^2)\leq \frac{1}{4}(\frac{x^2+y^2+2xy+2xy}{3})^3[/tex]
[tex]\leq \frac{1}{4}(\frac{4+(x+y)^2/2}{3})=2[/tex] ta có đpcm