Toán các bài toán về bất đẳng thức

BhofA · 7 Tháng sáu 2017

1/ Cho a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác, chứng minh rằng: 4a^2b^2 - (a^2+b^2-c^2) > 0
(P/s: cho hỏi bài này chỉ đứng với tam gắc vuông có cạnh huyền là c phải ko ạ @@ )
2/ Cho 2 số dương x,y và x^3+y^3 = x-y. CMR: x^2+y^2 < 1
3/ Cho 2 số x,y thỏa mãn điều kiện: x+y = 2
Chứng minh rằng : x^4+y^4 >= 2

Nữ Thần Mặt Trăng · 7 Tháng sáu 2017

3/
$x^2+y^2\geq \dfrac{(x+y)^2}{2}=2\implies x^4+y^4\geq \dfrac{(x^2+y^2)^2}{2}\geq \dfrac{2^2}{2}=2$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=1$

Xámm · 7 Tháng sáu 2017

2/
Dễ thấy: [tex]x> y[/tex]
Giả sử: [tex]x^{2}+y^{2}\leq 1[/tex]
[tex]\Rightarrow (x-y).(x^{2}+y^{2})\geq x-y=x^{3}+y^{3}[/tex]
[tex]\Rightarrow x^{2}y-xy^{2}-y^{3}> y^{3}[/tex]
[tex]\Rightarrow xy-x^{2}> 2y^{2}[/tex]
Điều trên sai do [tex]2y^{2}> 0 ; xy-x^{2}< 0[/tex]
Vậy [tex]x^{2}+y^{2}> 1[/tex]

Lưu Thị Thu Kiều · 7 Tháng sáu 2017

BhofA said:
1/ Cho a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác, chứng minh rằng: 4a^2b^2 - (a^2+b^2-c^2) > 0
(P/s: cho hỏi bài này chỉ đứng với tam gắc vuông có cạnh huyền là c phải ko ạ @@ )

bài này chỉ áp dụng cho tam giác vuông cạnh huyền là c như bạn nói
khi đó: a^2+b^2=c^2 => a^2+b^2 -c^2=0 (*)
do a,b là cạnh tam giác nên a , b >0 => 4a^2b^2>0
thay (*) vào 4a^2b^2- (a^2+b^2-c^2) ta được :
4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2) = 4a^2b^2 - 0 =4a^2b^2 >0
từ đó suy ra :4a^2b^2 - (a^2+b^2-c^2) > 0 (đpcm)

Nữ Thần Mặt Trăng · 8 Tháng sáu 2017

Xámm said:
2/
Dễ thấy:
$png.latex$

Giả sử:
$png.latex$

$png.latex$

$png.latex$

$png.latex$

Điều trên sai do
$png.latex$

Vậy
$png.latex$

+Thứ nhất sao chuyển đc $\geq $ thành $>$
+Thứ hai phải là $xy^2-x^2y-y^3$ chứ nhỉ? ^^

Lưu Thị Thu Kiều said:
bài này chỉ áp dụng cho tam giác vuông cạnh huyền là c như bạn nói
khi đó: a^2+b^2=c^2 => a^2+b^2 -c^2=0 (*)
do a,b là cạnh tam giác nên a , b >0 => 4a^2b^2>0
thay (*) vào 4a^2b^2- (a^2+b^2-c^2) ta được :
4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2) = 4a^2b^2 - 0 =4a^2b^2 >0
từ đó suy ra :4a^2b^2 - (a^2+b^2-c^2) > 0 (đpcm)

Nhưng kiều ko thấy nếu chỉ áp dụng cho tam giác vuông cạnh huyền c thì nó đơn giản quá sao? ^^
Nếu $a=5;b=6;c=7$ thì bđt trên vẫn đúng mặc dù ko phải tam giác vuông

trà nguyễn hữu nghĩa · 8 Tháng sáu 2017

Bài 1:
Ta có: x^3+y^3=(x-y).(x^2+xy+y^2).
Mà x^3+y^3=x-y ==>x^2+xy+y^2=1.
Mà xy>0(Vì x,y là những số dương).
==>x^2+y^2<1.
___Mình không gõ được số mũ nên bạn thông cảm___

Lưu Thị Thu Kiều · 8 Tháng sáu 2017

Nữ Thần Mặt Trăng said:
Nhưng kiều ko thấy nếu chỉ áp dụng cho tam giác vuông cạnh huyền c thì nó đơn giản quá sao? ^^
Nếu a=5;b=6;c=7 thì bđt trên vẫn đúng mặc dù ko phải tam giác vuông

kiều cũng thấy thế nên trúc làm lại bài đó đi ( với lại mình làm bừa thôi) @Nữ Thần Mặt Trăng^^

Nữ Thần Mặt Trăng · 8 Tháng sáu 2017

Lưu Thị Thu Kiều said:
kiều cũng thấy thế nên trúc làm lại bài đó đi ( với lại mình làm bừa thôi) @Nữ Thần Mặt Trăng ^^

có người làm rồi mà kiều ^^
P/s:sr trúc nhầm ^^ tại bạn ấy làm bài 2 mà ghi bài 1 á ^^

BhofA · 8 Tháng sáu 2017

trà nguyễn hữu nghĩa said:
Bài 1:
Ta có: x^3+y^3=(x-y).(x^2+xy+y^2).
Mà x^3+y^3=x-y ==>x^2+xy+y^2=1.
Mà xy>0(Vì x,y là những số dương).
==>x^2+y^2<1.
___Mình không gõ được số mũ nên bạn thông cảm___

từ dòng đầu bạn đã sai rồi, phải là: x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)

BhofA · 8 Tháng sáu 2017

2/
Dễ thấy:

$png.latex$

Giả sử: x^2+y^2 >= 1

$png.latex$

=> x^3 + xy^2 - x^2y - y^3 >= x^3 + y^3
=> xy(y-x) >= 2y^3
Điều trên sai do xy(y-x) < 0 và 2y^3>0
Vậy x^2+y^2 < 1

Sửa lại thế này đẫ đúng chưa mọi người !!!

Nữ Thần Mặt Trăng · 8 Tháng sáu 2017

BhofA said:
2/
Dễ thấy:
$png.latex$

Giả sử: x^2+y^2 >= 1

$png.latex$

=> x^3 + xy^2 - x^2y - y^3 >= x^3 + y^3
=> xy(y-x) >= 2y^3
Điều trên sai do xy(y-x) < 0 và 2y^3>0
Vậy x^2+y^2 < 1

Sửa lại thế này đẫ đúng chưa mọi người !!!

Đúng rồi đó bạn ^^

BhofA · 8 Tháng sáu 2017

Cần giải quyết bài 1 nữa

trà nguyễn hữu nghĩa · 8 Tháng sáu 2017

BhofA said:
2/
Dễ thấy:
$png.latex$

Giả sử: x^2+y^2 >= 1

$png.latex$

=> x^3 + xy^2 - x^2y - y^3 >= x^3 + y^3
=> xy(y-x) >= 2y^3
Điều trên sai do xy(y-x) < 0 và 2y^3>0
Vậy x^2+y^2 < 1

Sửa lại thế này đẫ đúng chưa mọi người !!!

Chắc là đúng rồi đó.

BhofA · 8 Tháng sáu 2017

trà nguyễn hữu nghĩa said:
Chắc là đúng rồi đó.

bạn có biết cách làm bài 1 không? nghĩ mãi chẳng ra, chỉ biết cm trong tg vuông có 2 cạnh gv là a,b

iceghost · 8 Tháng sáu 2017

BhofA said:
1/ Cho a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác, chứng minh rằng: 4a^2b^2 - (a^2+b^2-c^2) > 0

Phải là $(a^2+b^2-c^2)^2$ chứ bạn nhỉ ?

Tìm kiếm

Tìm kiếm

Toán các bài toán về bất đẳng thức

BhofA

Học sinh chăm học

Nữ Thần Mặt Trăng

Cựu Mod Toán

Xámm

Học sinh

Lưu Thị Thu Kiều

Học sinh tiến bộ

Nữ Thần Mặt Trăng

Cựu Mod Toán

trà nguyễn hữu nghĩa

Cựu Mod Vật Lí |Cây bút Thơ|Thần tượng VH

Lưu Thị Thu Kiều

Học sinh tiến bộ

Nữ Thần Mặt Trăng

Cựu Mod Toán

BhofA

Học sinh chăm học

BhofA

Học sinh chăm học

Nữ Thần Mặt Trăng

Cựu Mod Toán

BhofA

Học sinh chăm học

trà nguyễn hữu nghĩa

Cựu Mod Vật Lí |Cây bút Thơ|Thần tượng VH

BhofA

Học sinh chăm học

iceghost

Cựu Mod Toán