Tứ giác nội tiếp???

[thanhson1995]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Có bài này ai giúp mình với nhé
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. CMR AC.BD=AB.CD+BC.DA

 

[rua_it]

Định lý Ptolemy

Từ điểm C kẻ đường thẳng song song với BD và cắt đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD tại E
[tex]\rightarrow \left{\begin{\hat{ABE}=\alpha}\\{BC=DE}\\{BE=CD}\\{\hat{ADE}=180^0-\alpha}\\{S_{BCD}=S_{BED}}[/tex]
[tex]\rightarrow S_{ABCD}=S_{ABED}=S_{ABE}+S_{ADE} \\ S_{ABCD}=\frac{1}{2}.AC.BD.sin\alpha \\ S_{ABE}=\frac{1}{2}AB.BE.sin\alpha \\ S_{ADE}=\frac{1}{2}.AD.DE.sin(180^0-\alpha)=\frac{1}{2}AD.DE.sin\alpha \\ \rightarrow \frac{1}{2}.AC.BD.sin\alpha=\frac{1}{2}AB.BE.sin \alpha+\frac{1}{2}.AD.DE.sin \alpha \\ \Rightarrow AC.BD=AB.DC+AD.BC(dpcm)[/tex]

 

[thanhson1995]

Cảm ơn bạn đã cho mình biết tên định lý. Nhờ cách giải của bạn mình nghĩ thêm được cách cm thứ là lấy K thuộc AC sao cho góc ABK=CBD rồi xét tam giác đồng dạng ra tỉ số.

 

[rua_it]

Cảm ơn bạn đã cho mình biết tên định lý. Nhờ cách giải của bạn mình nghĩ thêm được cách cm thứ là lấy K thuộc AC sao cho góc ABK=CBD rồi xét tam giác đồng dạng ra tỉ số.

Dựng điểm K sao cho tam giác BCD đồng dạng với tam giác BKA.

[tex] \rightarrow \frac{BA}{KA} = \frac{BD}{CD}[/tex]

[tex] \rightarrow BA.CD =KA.BD (1)[/tex]

Mặt khác, hai tam giác KBC và ABD đồng dạng nên ta có:

[tex]\frac{BA}{BD} = \frac{BK}{BC}[/tex] [tex]and[/tex] [tex] KBC = ABD[/tex]

[tex] \rightarrow \frac{KC}{BC} = \frac{AD}{BD}[/tex]

Suy ra [tex]AD.BC = KC.BD(2)[/tex]

Cộng (3) và (4) ta được [tex]AB.CD + AD.BC = BD.(KA+KC)[/tex]

Theo bất đẳng thức tam giác ta suy ra [tex]AB.CD + AD.BC \geq AC.BD[/tex]

Đây chính là bất đẳng thức [tex]Ptolemy[/tex]

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABCD là tứ giác nội tiếp nên ta có ngay dpcm.