toan

V

vhdaihoc

Cho m,n,k thuộc Z ,sao cho [TEX] m^2+n^2=k^2 [/TEX].CMR m.n chia hết cho 12
.......................................................;)/:):)>-:D..........................................
 
S

silvery21

saodoingoi_baby2000 said:
Cho m,n,k thuộc z ,sao cho [TEX]m^2+n^2=k^2[/TEX].CMR m.n chia hết cho 12
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
saodoingoi_baby2000 said:
.......................................................;)/:):)>-:D..........................................
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...



* Ta cm mn chia hết cho 3: ta biết bình phương của 1 số
hoặc chia hết cho 3, hoặc chia 3 dư 1
nếu m² và n² đều không chia hết cho 3 => m² + n² chia 3 dư 2
vô lí vì vế phải là k² chia 3 dư 0 hoặc dư 1
Vây: m² hoặc n² phải có ít nhất 1 số chia hết cho 3, do 3 là số nguyên tố => m hoặc n chia hết cho 3 => mn chia hết cho 3

* ta cm mn chia hết cho 4: ta biết bình phương của 1 số thì hoặc chia hết cho 4, hoặc chia 4 dư 1
(chỉ cần xét số đó có dạng n² = (2k)² hoặc n² = (2k+1)² là ra)

nếu m² và n² đều không chia hết cho 4 => m², n² chia 4 đều dư 1
=> m²+n² chia 4 dư 2 không bằng vế phải vì k² chia 4 dư 0 hoặc dư 1

Vậy m² hoặc n² có ít nhất 1 số chia hết cho 4 chẳng hạn m² chia hết cho 4
=> m chia hết cho 2

nếu n chẳn => mn chia hết cho 4

nếu n lẻ => k lẻ (do m² chẳn)

có m² = k² - n² = (2p+1)² - (2q+1)² = 4p² + 4p - 4q² - 4q = 4(p²-q²) + 4(p-q)
m² = 4(p-q)(p+q+1)

thấy p -q và p+q cùng chẳn hoặc cùng lẻ => p-q và p+q+1 có một số chẳn và một số lẻ => (p-q)(p+q+1) chia hết cho 2 => m² chia hết cho 8

đặt m = 2r => m² = 4r² = 8Q (do trên có m² chia hết cho 8)

=> r² = 2Q => r² chia hết cho 2, mà 2 là số nguyên tố => r chia hết cho 2

=> m = 2r chia hết cho 4 => m.n chia hết cho 4

tóm lại m.n chia hết cho 3 và chia hết cho 4 mà 3 và 4 là hai số nguyên tố cùng nhau => m.n chia hết cho 12
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom