[Toán 12]-Bạn đã đủ mạnh để thử (Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất)

[mylove92]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1/Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn: a+b+c=6
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:[TEX]A=(1+\frac{1}{a^3})(1+\frac{1}{b^3})(1+\frac{1}{c^3})[/TEX]
2/cho x,y,z >0;(x+y+z)^3=32xyz
Tìm GTLN va GTNN cua: [TEX]P=\frac{x^4+y^4+z^4}{(x+y+z)^4[/TEX]

 

[nguyenminh44]

1/Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn: a+b+c=6
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:[TEX]A=(1+\frac{1}{a^3})(1+\frac{1}{b^3})(1+\frac{1}{c^3})[/TEX]

Phương pháp điểm rơi

[TEX]1+\frac{1}{a^3} = \frac{1}{8}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{8}+\frac{1}{a^3}[/TEX]

[TEX]\geq 9\sqrt[9]{\frac{1}{8^8a^3}}=\frac{9\sqrt[9]{8}}{8\sqrt[3]{a}} [/TEX]

[TEX]\Rightarrow A \geq \frac{9\sqrt[9]{8}}{8\sqrt[3]{a} [/TEX] [TEX]\frac{9\sqrt[9]{8}}{8\sqrt[3]{b}[/TEX] [TEX]\frac{9\sqrt[9]{8}}{8\sqrt[3]{c}[/TEX]

[TEX]=\frac{9^3.2}{8^3\sqrt[3]{abc}[/TEX]

Mặt khác [TEX]6=a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc} \Rightarrow \sqrt[3]{abc} \leq 2[/TEX]

[TEX]\Rightarrow A \geq (\frac{9}{8})^3[/TEX]

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=2

 

[vodichhocmai]

BDt

Ta đi từ bổ đề sau:
[TEX]\prod_{}^{a,b,c}\(1+\frac{1}{a^3}\)\ge \(1+\frac{1}{abc} \)^3 (1)[/TEX]
Mặt khác theo [TEX]AM-GM[/TEX] ta có :
[TEX]6=\sum_{cyclic}^{a,b,c>0} a\ge 3\sqrt[3]{abc}[/TEX]
[TEX]\righ\frac{1}{abc}\ge\frac{1}{8} (2)[/TEX]
[TEX](1)&(2)\righ \prod_{}^{a,b,c>0}\(1+\frac{1}{a^3}\)\ge (\frac{9}{8})^3[/TEX]
[TEX]\righ Min_A=(\frac{9}{8})^3[/TEX]