Toán 9 CMR: OG=ONOG = ON

[truong2008]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

mn giúp e với ạ
Từ điểm $K$ nằm ngoài đường tròn $(O)$ kẻ các tiếp tuyến $KA;KB$; cát tuyến $KCD$ đến $(O)$. Vẽ đường kính AI. Các dây $IC;ID$ cắt $KO$ theo thứ tự ở $G;N$. CMR: $OG = ON$

 

[chi254]

mn giúp e với ạ
Từ điểm $K$ nằm ngoài đường tròn $(O)$ kẻ các tiếp tuyến $KA;KB$; cát tuyến $KCD$ đến $(O)$. Vẽ đường kính AI. Các dây $IC;ID$ cắt $KO$ theo thứ tự ở $G;N$. CMR: $OG = ON$

truong2008Muốn chứng minh $OG = ON$ thì ta chứng minh $\Delta ANO = \Delta IGO$
Ta đã có: $AO = IO ; \widehat{AON} = \widehat{IOG}$
Cần thêm điều kiện: $\widehat{ANO} = \widehat{IGO}$

Vậy cần chứng minh: $AN // IC$ hay chứng minh $\widehat{AND} = \widehat{CID}$

Kẻ $AM \perp OK$

Chứng minh được: $AMND$ là tứ giác nội tiếp $(\widehat{ADN} + \widehat{AMN} = 90^o)$
Suy ra: $\widehat{AMD} = \widehat{AND}$

Dễ dàng chứng minh được: $OMCD$ là tứ giác nội tiếp và $AM$ là tia phân giác $\widehat{CMD}$
Suy ra: $\widehat{COD} = \widehat{DCM} = 2\widehat{AMD}$

Lại có: $\widehat{COD} = 2\widehat{DIC}$
Suy ra: $\widehat{DIC} = \widehat{AMD}$
Hay: $\widehat{AND} = \widehat{CID}$

Em tự trình bày lại nhé !

Có gì không hiểu thì em hỏi lại nha
Ngoài ra, em tham khảo kiến thức tại Góc với đường tròn

 

[truong2008]

Muốn chứng minh $OG = ON$ thì ta chứng minh $\Delta ANO = \Delta IGO$
Ta đã có: $AO = IO ; \widehat{AON} = \widehat{IOG}$
Cần thêm điều kiện: $\widehat{ANO} = \widehat{IGO}$

Vậy cần chứng minh: $AN // IC$. Chứng minh $\widehat{AND} = \widehat{CID}$

Kẻ $AM \perp OK$

Chứng minh được: $AMND$ là tứ giác nội tiếp $(\widehat{ADN} + \widehat{AMN} = 90^o)$
Suy ra: $\widehat{AMD} = \widehat{AND}$

Dễ dàng chứng minh được: $OMCD$ là tứ giác nội tiếp và $AM$ là tia phân giác $\widehat{CMD}$
Suy ra: $\widehat{COD} = \widehat{DCM} = 2\widehat{AMD}$

Lại có: $\widehat{COD} = 2\widehat{DIC}$
Suy ra: $\widehat{DIC} = \widehat{AMD}$
Hay: $\widehat{AND} = \widehat{CID}$

Em tự trình bày lại nhé !

Có gì không hiểu thì em hỏi lại nha
Ngoài ra, em tham khảo kiến thức tại Góc với đường tròn

chi254chị ơi tại sao OMCD là tứ giác nội tiếp và AM là tia phân giác của CMD ạ

 

[chi254]

chị ơi tại sao OMCD là tứ giác nội tiếp và AM là tia phân giác của CMD ạ

truong2008Xét $\Delta KAC \sim \Delta KDA$ suy ra: $KC.KD = KA^2$
Lại có: $KA^2 = KO.KM$
Suy ra: $KO.KM = KC.KD \to \dfrac{KC}{KO} = \dfrac{KM}{KD} \to \Delta KMC \sim KDO$

Suy ra: $\widehat{KMC} = \widehat{KDO}$. Vậy nên $OMCD$ là tứ giác nội tiếp

Ta có: $\widehat{OCD} = \widehat{ODC}$ ( $\Delta OCD$ cân)
Tứ giác $OMCD$ nội tiếp nên $\widehat{OMD} =\widehat{OCD}$
Suy ra: $\widehat{OMD} = \widehat{ODC}$

Lại có: $\widehat{ODC} =\widehat{KMC}$
Suy ra: $\widehat{OMD} = \widehat{KMC}$ $\iff 90^o - \widehat{OMD} = 90^o - \widehat{KMC} \iff \widehat{AMD} = \widehat{AMC}$

Hay $AM$ là tia phân giác $\widehat{DMC}$

Có gì không hiểu thì em hỏi lại nha