Toán 10 Chứng minh

[Duy Quang Vũ 2007]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC có các cạnh BC=a; CA=b; AB=c. Chứng minh với mọi điểm M thì
[math]aMA^2+bMB^2+cMC^2 \geq abc[/math]Dấu "=" xảy ra khi nào?

 

[Alice_www]

Cho tam giác ABC có các cạnh BC=a; CA=b; AB=c. Chứng minh với mọi điểm M thì
[math]aMA^2+bMB^2+cMC^2 \geq abc[/math]Dấu "=" xảy ra khi nào?

Duy Quang Vũ 2007
Ta có: [imath](a\overrightarrow{MA}+b\overrightarrow{MB}+c\overrightarrow{MC})^2\ge 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow a^2MA^2+b^2MB^2+c^2MC^2+2ab\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+2bc\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}+2ca\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}\ge 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow a^2MA^2+b^2MB^2+c^2MC^2+ab(MA^2+MB^2-AB^2)+bc(MB^2+MC^2-BC^2)+ca(MA^2+MC^2-AC^2)\ge0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow MA^2(a^2+ab+ac)+MB^2(b^2+ab+bc)+MC^2(c^2+bc+ca)\ge abc^2+ab^2c+a^2bc[/imath]
[imath]\Leftrightarrow (a+b+c)aMA^2+(a+b+c)bMB^2+(a+b+c)cMC^2\ge abc(a+b+c)[/imath]
[imath]\Leftrightarrow aMA^2+bMB^2+cMC^2 \ge abc[/imath]

Dấu "=" xảy ra khi [imath]a\overrightarrow{MA}+b\overrightarrow{MB}+c\overrightarrow{MC}=0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow M[/imath] là tâm đường tròn nội tiếp [imath]\Delta ABC[/imath]

Có gì khúc mắc em hỏi lại nhé
Ngoài ra em xem thêm tại Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác

 

[Duy Quang Vũ 2007]

Ta có: [imath](a\overrightarrow{MA}+b\overrightarrow{MB}+c\overrightarrow{MC})^2\ge 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow a^2MA^2+b^2MB^2+c^2MC^2+2ab\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+2bc\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}+2ca\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}\ge 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow a^2MA^2+b^2MB^2+c^2MC^2+ab(MA^2+MB^2-AB^2)+bc(MB^2+MC^2-BC^2)+ca(MA^2+MC^2-AC^2)\ge0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow MA^2(a^2+ab+ac)+MB^2(b^2+ab+bc)+MC^2(c^2+bc+ca)\ge abc^2+ab^2c+a^2bc[/imath]
[imath]\Leftrightarrow (a+b+c)aMA^2+(a+b+c)bMB^2+(a+b+c)cMC^2\ge abc(a+b+c)[/imath]
[imath]\Leftrightarrow aMA^2+bMB^2+cMC^2 \ge abc[/imath]

Dấu "=" xảy ra khi [imath]a\overrightarrow{MA}+b\overrightarrow{MB}+c\overrightarrow{MC}=0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow M[/imath] là tâm đường tròn nội tiếp [imath]\Delta ABC[/imath]

Có gì khúc mắc em hỏi lại nhé
Ngoài ra em xem thêm tại Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác

Alice_wwwCó cách nào không dùng vecto không chị? (em hỏi để bt thôi chứ em thấy làm như này cũng dễ hiểu)