Toán 9 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $S= \dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{z^2}{x+y}$

[nguyenthihongvan1972@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số dương [imath]x, y, z[/imath] thỏa mãn: [imath]\sqrt{2(x^2+y^2)}+\sqrt{2(y^2+z^2)}+\sqrt{2(z^2+x^2)}+xyz=7[/imath]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:[imath]S= \dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{z^2}{x+y}[/imath]

 

[7 1 2 5]

Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: căn2(x^2+y^2)+ căn2(y^2+z^2)+ căn2( z^2+x^2)+xyz=7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S= x^2/(y+z) +y^2/(z+x) +z^2(x+y)

nguyenthihongvan1972@gmail.comGiả thiết là [imath]\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2}+xyz=7[/imath] hay [imath]\sqrt{2(x^2+y^2)}+\sqrt{2(y^2+z^2)}+\sqrt{2(z^2+x^2)}+xyz=7[/imath] vậy nhỉ?

 

[nguyenthihongvan1972@gmail.com]

Giả thiết là [imath]\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2}+xyz=7[/imath] hay [imath]\sqrt{2(x^2+y^2)}+\sqrt{2(y^2+z^2)}+\sqrt{2(z^2+x^2)}+xyz=7[/imath] vậy nhỉ?

Mộc Nhãncái thứ 2 anh ạ

 

[Lê.T.Hà]

Một bài toán tương đối quen thuộc, chỉ đổi giả thiết 1 chút xíu (thực ra làm bài toán trở nên ít chặt hơn)
[imath]S \geq \dfrac{x^2}{\sqrt{2(y^2+z^2)}}+\dfrac{y^2}{\sqrt{2(z^2+x^2)}}+\dfrac{z^2}{\sqrt{2(x^2+y^2)}}[/imath]

Đặt [imath](\sqrt{2(y^2+z^2)};\sqrt{2(z^2+x^2)};\sqrt{2(x^2+y^2)})=(a;b;c)[/imath]
[imath]\Rightarrow \begin{cases}x^2=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{4}\\y^2=\dfrac{c^2+a^2-b^2}{4}\\z^2=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{4} \end{cases}[/imath]

Đồng thời:

[imath]abc=\sqrt{8(x^2+y^2)(y^2+z^2)(z^2+x^2)} \geq \sqrt{8.2xy.2yz.2zx}=8xyz \Rightarrow xyz \leq \dfrac{abc}{8}[/imath]

Do đó giả thiết trở thành:

[imath]a+b+c+\dfrac{abc}{8} \geq 7 \Rightarrow a+b+c+\dfrac{(a+b+c)^3}{216} \geq 7 \Rightarrow (t-6)(t^2+6t+256) \geq 0[/imath]
(Trong đó [imath]t=a+b+c[/imath] dài quá nên viết gọn)
[imath]\Rightarrow a+b+c \geq 6[/imath]

Bài toán đã được đưa về: cho [imath]a+b+c \geq 6[/imath], tìm min:
[math]S=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{4a}+\dfrac{c^2+a^2-b^2}{4b}+\dfrac{a^2+b^2-c^2}{4c}[/math]
Đến đây chắc dễ rồi :v