Toán 10 Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2+4xyz=2(xy+yz+zx)$

[nguyenthianh4c]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn [tex]x^2+y^2+z^2+4xyz=2(xy+yz+zx)[/tex]. Biểu thức P=[tex]x(1-y)(1-z)[/tex] đạt GTLN khi x=a, y=b, z=c. Khi đó a+b+c bằng?
Mong mọi người giải nhanh giúp em bài này với ạ. Em xin cảm ơn

 

[kido2006]

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn [tex]x^2+y^2+z^2+4xyz=2(xy+yz+zx)[/tex]. Biểu thức P=[tex]x(1-y)(1-z)[/tex] đạt GTLN khi x=a, y=b, z=c. Khi đó a+b+c bằng?
Mong mọi người giải nhanh giúp em bài này với ạ. Em xin cảm ơn

[tex]x^2+y^2+z^2+4xyz=2(xy+yz+zx)\\ \Leftrightarrow (y+z-x)^2=4yz(1-x)\geq 0\\ \Rightarrow 1\geq x[/tex]
Tương tự cho $y,z$
Có [tex](y+z-x)^2=4yz(1-x)\leq 4\left ( \frac{1-x+y+z}{3} \right )^3\\ \Rightarrow y+z-x\geq \frac{-1}{4}[/tex]
[tex]\Rightarrow P=x(1-y)(1-z)\leq \left (\frac{x-y-z+2}{3} \right )^3\leq \left (\frac{\frac{1}{4}+2}{3} \right ) ^3=\frac{27}{64} [/tex]
Đẳng thức xảy ra khi $x=\frac{3}{4};y=z=\frac{1}{4}$
[tex]\Rightarrow a+b+c=\frac{5}{4}[/tex]

 

[nguyenthianh4c]

[tex]x^2+y^2+z^2+4xyz=2(xy+yz+zx)\\ \Leftrightarrow (y+z-x)^2=4yz(1-x)\geq 0\\ \Rightarrow 1\geq x[/tex]
Tương tự cho $y,z$
Có [tex](y+z-x)^2=4yz(1-x)\leq 4\left ( \frac{1-x+y+z}{3} \right )^3\\ \Rightarrow y+z-x\geq \frac{-1}{4}[/tex]
[tex]\Rightarrow P=x(1-y)(1-z)\leq \left (\frac{x-y-z+2}{3} \right )^3\leq \left (\frac{\frac{1}{4}+2}{3} \right ) ^3=\frac{27}{64} [/tex]
Đẳng thức xảy ra khi $x=\frac{3}{4};y=z=\frac{1}{4}$
[tex]\Rightarrow a+b+c=\frac{5}{4}[/tex]

Bạn ơi cho mình hỏi tại sao từ bên trên lại suy ra được y+z-x>= -1/4? Đoạn này mình chưa hiểu lắm.

 

[kido2006]

View attachment 195402Bạn ơi cho mình hỏi tại sao từ bên trên lại suy ra được y+z-x>= -1/4? Đoạn này mình chưa hiểu lắm.

Đặt [tex]t=y+z-x[/tex]
Ta được [tex]t^2\leq 4\left ( \dfrac{1+t}{3} \right )^3\\ \Leftrightarrow (t-2)^2(t+\dfrac{1}{4})\geq 0\\ \Rightarrow (t+\dfrac{1}{4})\geq 0\\ \Rightarrow t\geq -\dfrac{1}{4}[/tex]
Đây bạn nhé ^^