Toán 9 Các điểm thuộc đường tròn

[Cheems]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC nhọn AB > AC , nội tiếp đường tròn tâm (O) . Giả sử M,N là hai điểm thuộc cung nhỏ BC sao cho MN song song với BC và tia AN nằm giữa AM,AB . Gọi P là hình chiếu của C tên AN và Q là hình chiếu vuông góc của M trên AB
a) CP cắt QM tại T . CMR T thuộc (O)
B) NQ cắt (O) tại R khác N . AM cắt PQ tại S . CMR A,R,Q,S thuộc cùng 1 đường tròn

 

[vangiang124]

Cho tam giác ABC nhọn AB > AC , nội tiếp đường tròn tâm (O) . Giả sử M,N là hai điểm thuộc cung nhỏ BC sao cho MN song song với BC và tia AN nằm giữa AM,AB . Gọi P là hình chiếu của C tên AN và Q là hình chiếu vuông góc của M trên AB
a) CP cắt QM tại T . CMR T thuộc (O)
B) NQ cắt (O) tại R khác N . AM cắt PQ tại S . CMR A,R,Q,S thuộc cùng 1 đường tròn

a) Ta có $CP\perp AN \implies CT \perp AN$

$\implies \widehat{TPA}=90^\circ$

$MQ\perp AB \implies \widehat{TQA}=90^\circ$

Ta có $\widehat{TPA}=\widehat{TQA}=90^\circ$

$\implies$ Tứ giác $TAPQ$ nội tiếp $\implies \widehat{QTP}=\widehat{QAP}$

Mặt khác xét $(O)$ có $BC//NM \implies \overparen{BN}=\overparen{CM}$

$\implies \widehat{BAN}=\widehat{MAC}$

Do đó $\widehat{MTC}=\widehat{MAC} \implies$ tứ giác $TACM$ nội tiếp

Vậy $T$ thuộc đường tròn $(O)$

b) Ta có $\widehat{QTP}=\widehat{QAP} \quad \left(\overparen{CM}=\overparen{BN}\right)$

$\implies$ Tứ giác $TQPA$ nội tiếp $\implies \widehat{AQP}=\widehat{ATP}$

$\implies \widehat{ATP}=\widehat{ABC}$ (Hệ quả góc nội tiếp)

Suy ra $\widehat{AQP}=\widehat{ABC}$

Do đó $QS//BC//MN \implies \widehat{ASQ}=\widehat{AMN}$

Mà $\widehat{AMN}+\widehat{ARQ}=180^\circ$ (Tứ giác $RAMN$ nội tiếp)

Do đó $\widehat{ASQ}=\widehat{ARQ}=180^\circ$

Vậy tứ giác $ARQS$ nội tiếp

Hay $A,R,Q,S$ cùng thuộc một đường tròn

Em tham khảo thêm kiến thức khác tại topic này nha
https://diendan.hocmai.vn/threads/t...o-ban-hoan-toan-mien-phi.827998/#post-4045397