Toán 9 Phương trình bậc hai

[Duy Quang Vũ 2007]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phương trình [tex]ax^2+bx+c=0(a\neq0)[/tex] có nghiệm đồng thời nghiệm này gấp k lần nghiệm kia là:
[tex](k+1)^2ac=kb^2(k\neq-1)[/tex]

 

[kido2006]

Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phương trình [tex]ax^2+bx+c=0(a\neq0)[/tex] có nghiệm đồng thời nghiệm này gấp k lần nghiệm kia là:
[tex](k+1)^2ac=kb^2(k\neq-1)[/tex]

Vì phương trình có nghiệm đồng thời nghiệm này gấp k lần nghiệm kia, không mất tính tổng quát , giả sử [tex]x_1=k.x_2[/tex]
Cần chứng minh [tex](k+1)^2ac=kb^2(k\neq-1)[/tex]
Thật vậy : có [tex]\Delta =...\geq 0[/tex] (chỗ này bạn tự xét nhé)
Theo hệ thức Viet ta có [tex]\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=\frac{-b}{a}\\ x_1.x_2=\frac{c}{a} \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{(x_1+x_2)^2}{x_1.x_2}=\frac{(x_1+x_2)}{x_1.x_2}.(x_1+x_2)=\frac{b^2}{ac}[/tex]
Ta có [tex]\frac{(x_1+x_2)^2}{x_1.x_2}=\frac{(k.x_2+x_2)^2}{k.x_2^2}=\frac{(k+1)^2}{k}[/tex]
Do đó [tex]\frac{(k+1)^2}{k}=\frac{b^2}{ac}\Rightarrow (k+1)^2ac=b^2k(đpcm)[/tex]

 

[Duy Quang Vũ 2007]

Vì phương trình có nghiệm đồng thời nghiệm này gấp k lần nghiệm kia, không mất tính tổng quát , giả sử [tex]x_1=k.x_2[/tex]
Cần chứng minh [tex](k+1)^2ac=kb^2(k\neq-1)[/tex]
Thật vậy : có [tex]\Delta =...\geq 0[/tex] (chỗ này bạn tự xét nhé)
Theo hệ thức Viet ta có [tex]\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=\frac{-b}{a}\\ x_1.x_2=\frac{c}{a} \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{(x_1+x_2)^2}{x_1.x_2}=\frac{(x_1+x_2)}{x_1.x_2}.(x_1+x_2)=\frac{b^2}{ac}[/tex]
Ta có [tex]\frac{(x_1+x_2)^2}{x_1.x_2}=\frac{(k.x_2+x_2)^2}{k.x_2^2}=\frac{(k+1)^2}{k}[/tex]
Do đó [tex]\frac{(k+1)^2}{k}=\frac{b^2}{ac}\Rightarrow (k+1)^2ac=b^2k(đpcm)[/tex]

Anh chứng minh điều kiện còn lại được không ạ.

 

[kido2006]

Anh chứng minh điều kiện còn lại được không ạ.

Chiều nguợc lại
Từ [tex](k+1)^2ac=kb^2\Rightarrow ...\Rightarrow \frac{(x_1+x_2)^2}{x_1.x_2}=\frac{(k+1)^2}{k}\Rightarrow x_1^2k+x_2^2k=x_1.x_2.k^2+x_1.x_2\Leftrightarrow (x_1-x_2k)(x_2-x_1k)=0 \Leftrightarrow\begin{bmatrix} x_1=x_2k\\ x_2=x_1k \end{bmatrix}[/tex]