Toán 9 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức [tex]P=\frac{1}{2}(x+y+z)^2+4(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)[/tex]

[Junery N]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Xét các số [tex]x;y;z[/tex] thay đổi thỏa mãn [tex]x^3+y^3+z^3-3xyz=2[/tex].
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: [tex]P=\frac{1}{2}(x+y+z)^2+4(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)[/tex]

 

[kido2006]

Xét các số [tex]x;y;z[/tex] thay đổi thỏa mãn [tex]x^3+y^3+z^3-3xyz=2[/tex].
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: [tex]P=\frac{1}{2}(x+y+z)^2+4(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)[/tex]

Đặt [tex]x+y+z=t(t>0)[/tex]
Từ [tex]x^3+y^3+z^3-3xyz=2[/tex] [tex]\Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=2\Rightarrow x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=\frac{2}{x+y+z}=\frac{2}{t}[/tex]
Khi đó [tex]P=\frac{1}{2}t^2+\frac{8}{t}=\frac{1}{2}t^2+\frac{4}{t}+\frac{4}{t}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{2}t^2.\frac{4}{t}.\frac{4}{t}}=6[/tex]
Tự tìm dấu = nhé