Toán 12 Giải các tích phân + nguyên hàm

[Tizz]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Câu 1: [tex]f(x)=x^6-5x^4+3x^2+1[/tex] Tính [tex]I=\int_{0}^{1} f^{2017}.f'(x)dx[/tex]
Câu 2: Cho F(x)= [tex](ax^2+bx+c)\sqrt{2x+3}[/tex] là nguyên hàm của f(x)=[tex]\frac{20x^2+80x+11}{\sqrt{2x+3}}[/tex] trên [tex](\frac{-3}{2};+\infty )[/tex]
Câu 3: f(x) là hàm số liên tục trên R và thõa mãn [tex]\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}cotx f(sin^2x)dx = \int_{1}^{16}\frac{f\sqrt{x}}{x}dx=1[/tex] . Tính I=[tex]\int_{\frac{1}{8}}^{1}\frac{f4(x)}{x}dx[/tex]

 

[minhhoang_vip]

1) Quy về tích phân từng phần
$\displaystyle \int^b_a {u dv} =uv | ^b _a - \int^b_a {v du}$
Đặt $I=\displaystyle \int^1_0{f^{2017}(x) f'(x)dx}$
Đặt $u=f^{2017}(x) \Rightarrow du = 2017f^{2016}(x), \\
dv = f'(x)dx$, chọn $v=f(x)$
$I= \displaystyle \int^1_0{f^{2017}(x) f'(x)dx} =f^{2017}(x)f(x)| ^1 _0 - \int^1_0{2017f(x)f^{2016}(x)dx}$
$\displaystyle =f^{2018}(x)| ^1 _0 - 2017 \int^1_0{f^{2017}(x)dx}$
Lại có $f(1)=1-5+3+1=0, \ f(0)=1$
Do đó $I=f^{2018}(x)| ^1 _0 -2017 \left ( \dfrac{ f^{2018}(x)}{2018} \right ) \big | ^1_0 \\
= -1 -2017 \dfrac{(-1)}{2018} = - \dfrac{1}{2018}$

P/s: bạn nêu rõ hơn yêu cầu cho câu 2 nhé, ví dụ tìm $a,b,c$ hay tính toán gì đó nhé

 

[Hoàngg Minhh]

Câu 1: [tex]f(x)=x^6-5x^4+3x^2+1[/tex] Tính [tex]I=\int_{0}^{1} f^{2017}.f'(x)dx[/tex]
Câu 2: Cho F(x)= [tex](ax^2+bx+c)\sqrt{2x+3}[/tex] là nguyên hàm của f(x)=[tex]\frac{20x^2+80x+11}{\sqrt{2x+3}}[/tex] trên [tex](\frac{-3}{2};+\infty )[/tex]
Câu 3: f(x) là hàm số liên tục trên R và thõa mãn [tex]\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}cotx f(sin^2x)dx = \int_{1}^{16}\frac{f\sqrt{x}}{x}dx=1[/tex] . Tính I=[tex]\int_{\frac{1}{8}}^{1}\frac{f4(x)}{x}dx[/tex]

Câu 1
[tex]I=\int(f(x))^{2017}f'(x)dx=\int(f(x))^{2017}df(x)=\frac{(f(x))^{2018}}{2018}+C[/tex] thế cận [tex]x\in [0;1][/tex] vào [tex]=>I=-\frac{1}{2018}[/tex]
Câu 2 Có thiếu đề không cậu, không thấy đề yêu cầu tính cái gì nên mình tính nguyên hàm của f(x) ra trước nha
Đặt [tex]\sqrt{2x+3}=t\Rightarrow 2x+3=t^{2}=>dx=tdt[/tex]
[tex]\Rightarrow \int \frac{20x^{2}+80x+11}{\sqrt{2x+3}}dx=\int \frac{5(t^{2}-3)^{2}+40(t^{2}-3)+11}{t}.tdt=\int (5t^{4}+10t^{2}-64)dt=t^{5}+\frac{10}{3}t^{3}-64t=((2x+3)^{2}+\frac{10}{3}(2x+3)-64).\sqrt{2x+3}=(4x^{2}+\frac{56}{3}x-45)\sqrt{2x+3}[/tex]
[tex]\Rightarrow a=4;b=\frac{56}{3};c=-45[/tex]
Câu 3
[tex]+)I_{1}=\int_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}}cotx.f(sin^{2}x)dx[/tex]
đặt [tex]sin^{2}x=t\Rightarrow 2sinxcosxdx=dt[/tex]
[tex]\Rightarrow I_{1}=\int_{\frac{1}{2}}^{1}\frac{f(t)}{2t}dt=1\Rightarrow I_{1}=\int_{\frac{1}{2}}^{1}\frac{f(t)}{t}dt=2[/tex]
[tex]+)I_{2}=\int_{1}^{16}\frac{f(\sqrt{x})}{x}dx[/tex]
đặt [tex]\sqrt{x}=t\Rightarrow x=t^{2}\Rightarrow dx=2tdt[/tex]
[tex]\Rightarrow I_{2}=\int_{1}^{4}\frac{2f(t)}{t}=1\Leftrightarrow I_{2}=\int_{1}^{4}\frac{f(t)}{t}=\frac{1}{2}[/tex]
Có [tex]I_{1}+I_{2}=\int_{\frac{1}{2}}^{4}\frac{f(t)}{t}=\frac{5}{2}[/tex]
[tex]+)I=\int_{\frac{1}{8}}^{1}\frac{f(4x)}{x}dx[/tex]
Đặt [tex]4x=t\Rightarrow 4dx=dt[/tex]
[tex]\Rightarrow I=\int_{\frac{1}{2}}^{4}\frac{f(t)}{t}dt=\frac{5}{2}[/tex]