Toán 8 Chứng minh số chính phương

[AlexisBorjanov]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho a, b nguyên dương thỏa mãn [tex]2a^2+a=6b^2+b[/tex]. CMR a-b và 2a+2b+1 đều là số chính phương.
2. Giả sử tồn tại m, n tự nhiên thỏa mãn [tex]n^2=(m+1)^3-m^3[/tex]. Chứng minh rằng n là tổng 2 số chính phương liên tiếp.
Em xin cảm ơn!

 

[Lê Tự Đông]

1. Cho a, b nguyên dương thỏa mãn [tex]2a^2+a=6b^2+b[/tex]. CMR a-b và 2a+2b+1 đều là số chính phương.
2. Giả sử tồn tại m, n tự nhiên thỏa mãn [tex]n^2=(m+1)^3-m^3[/tex]. Chứng minh rằng n là tổng 2 số chính phương liên tiếp.
Em xin cảm ơn!

1. [tex]2a^2+a=6b^2+b[/tex]
=> $2a^{2}+a-2b^{2}-b=4b^{2}$
$(2a^{2}+2ab+a)-(2b^{2}+2ab+b) = (2b)^{2}$
$a(2a+2b+1)-b(2a+2b+1) = (2b)^{2}$
$(a-b)(2a+2b+1) = (2b)^{2}$
Đặt d=(a-b,2a+2b+1)
=> a-b chia hết cho d
2a+2b+1 chia hết cho d
=> $(a-b)(2a+2b+1) = (2b)^{2}$ chia hết cho $d^{2}$
=> 2b chia hết cho d => 4b chia hết cho d
Mà 2a+2b+1 - 2(a-b) = 4b+1 chia hết cho d
=> 4b+1-4b=1 chia hết cho d
=> d=1
=> Để $(a-b)(2a+2b+1)$ là số chính phương thì a-b và 2a+2b+1 là số chính phương