[tex]5^x.3^y+1=z(3z+2)\Leftrightarrow 5^x.3^y=(z+1)(3z-1)[/tex]
Vì [tex]z+1\equiv 3z-1(mod4)[/tex] nhưng [tex]5^x.3^y[/tex] không chia hết cho 2 nên [tex](z+1,3z-1)=1[/tex]
Lại có: 3z - 1 không chia hết cho 3 [tex]\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 3z-1=5^x\\ z+1=3^y \end{matrix}\right.\Rightarrow 3(3^y-1)=5^x+1\Leftrightarrow 3^{y+1}-4=5^x[/tex]
Xét [tex]y\vdots 2\Rightarrow 3^{y+1}=3^{2k+1}=9^k.3\equiv (-1)^k.3\equiv \pm 3(mod5)\Rightarrow 3^{y+1}-4[/tex] không chia hết cho 5(loại)
Vậy y lẻ. Đặt [tex]y+1=2q[/tex]
[tex]3^{y+1}-4=3^{2q}-4=(3^q-2)(3^q+2)=5^x\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 3^q-2=5^m\\ 3^q+2=5^n \end{matrix}\right.\Rightarrow 5^n-5^m=4\Rightarrow 5^m(5^{n-m}-1)=4\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 5^m=1\\ 5^{n-m}-1=4 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} m=0\\ 5^{n}=5 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} m=0\\ n=1 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 3^q=3\\ x=m+n=1 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} q=1\\ x=1 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y=2\\ x=1 \end{matrix}\right.\Rightarrow 3z-1=5^x=5\Rightarrow z=2[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
