Toán 9 Đại số nâng cao

[Nanh Trắng]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn x+y+z=4 và [tex]x^{2}+y^{2}+z^{2}=6[/tex]
a) Tính giá trị biểu thức xy+yz+xz và chứng minh rằng [tex]\frac{2}{3}\leq z\leq 2[/tex]
b) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức .[tex]P=x^{3}+y^{3}+z^{3}[/tex]

 

[7 1 2 5]

a) [tex]xy+yz+zx=\frac{1}{2}[(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)]=\frac{1}{2}(16-6)=5[/tex]
Ta có: [tex]x+y+z=4\Rightarrow x+y=4-z\Rightarrow (x+y)^2=(4-z)^2[/tex]
Lại có: [tex](x-y)^2\geq 0\Rightarrow x^2+y^2\geq 2xy\Rightarrow 2(x^2+y^2)\geq x^2+2xy+y^2=(x+y)^2\Rightarrow 2(6-z^2)\geq (4-z)^2\Leftrightarrow 12-2z^2\geq z^2-8z+16\Rightarrow 3z^2-8z+4\leq 0\Leftrightarrow (z-2)(3z-2)\leq 0\Leftrightarrow \frac{2}{3}\leq z\leq 2[/tex]
b) [tex]P=x^3+y^3+z^3=x^3+y^3+(4-x-y)^3=-3 x^2 y + 12 x^2 - 3 x y^2 + 24 x y - 48 x + 12 y^2 - 48 y + 64=3xy(8-x-y)-48(x+y)+12(x^2+y^2)+64=3xy(4+z)-48(4-z)+12(6-z^2)+64=3xy(4+z)-12z^2+48z-56[/tex]
Ta thấy: [tex]xy=5-yz-zx=5-z(x+y)=5-z(4-z)=z^2-4z+5[/tex]
[tex]\Rightarrow P=3(z^2-4z+5)(4+z)-12z^2+48z-56=3 z^3 - 12 z^2 + 15 z + 4[/tex]
Ta thấy: [tex]P=3 z^3 - 12 z^2 + 15 z + 4=(z-2)(3z^2-6z+3)+10=3(z-2)(z-1)^2+10[/tex]
Vì [tex]z\leq 2,(z-1)^2\geq 0\Rightarrow 3(z-2)(z-1)^2\leq 0\Rightarrow P\leq 10[/tex]
Dấu "=" xảy ra tại z = 2 hoặc z = 1.

 

[Nanh Trắng]

a) [tex]xy+yz+zx=\frac{1}{2}[(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)]=\frac{1}{2}(16-6)=5[/tex]
Ta có: [tex]x+y+z=4\Rightarrow x+y=4-z\Rightarrow (x+y)^2=(4-z)^2[/tex]
Lại có: [tex](x-y)^2\geq 0\Rightarrow x^2+y^2\geq 2xy\Rightarrow 2(x^2+y^2)\geq x^2+2xy+y^2=(x+y)^2\Rightarrow 2(6-z^2)\geq (4-z)^2\Leftrightarrow 12-2z^2\geq z^2-8z+16\Rightarrow 3z^2-8z+4\leq 0\Leftrightarrow (z-2)(3z-2)\leq 0\Leftrightarrow \frac{2}{3}\leq z\leq 2[/tex]
b) [tex]P=x^3+y^3+z^3=x^3+y^3+(4-x-y)^3=-3 x^2 y + 12 x^2 - 3 x y^2 + 24 x y - 48 x + 12 y^2 - 48 y + 64=3xy(8-x-y)-48(x+y)+12(x^2+y^2)+64=3xy(4+z)-48(4-z)+12(6-z^2)+64=3xy(4+z)-12z^2+48z-56[/tex]
Ta thấy: [tex]xy=5-yz-zx=5-z(x+y)=5-z(4-z)=z^2-4z+5[/tex]
[tex]\Rightarrow P=3(z^2-4z+5)(4+z)-12z^2+48z-56=3 z^3 - 12 z^2 + 15 z + 4[/tex]
Ta thấy: [tex]P=3 z^3 - 12 z^2 + 15 z + 4=(z-2)(3z^2-6z+3)+10=3(z-2)(z-1)^2+10[/tex]
Vì [tex]z\leq 2,(z-1)^2\geq 0\Rightarrow 3(z-2)(z-1)^2\leq 0\Rightarrow P\leq 10[/tex]
Dấu "=" xảy ra tại z = 2 hoặc z = 1.

bạn ơi sao [TEX]2(6-z^2)\geq (4-z)^2[/TEX]

 

[mbappe2k5]

bạn ơi sao [TEX]2(6-z^2)\geq (4-z)^2[/TEX]

Đề cho [TEX]x^2+y^2+z^2=6[/TEX] và [TEX]x+y+z=4[/TEX] nên từ [TEX]2(x^2+y^2)\geq (x+y)^2[/TEX] suy ra được cái kia nhé!

 

[Nanh Trắng]

a) [tex]xy+yz+zx=\frac{1}{2}[(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)]=\frac{1}{2}(16-6)=5[/tex]
Ta có: [tex]x+y+z=4\Rightarrow x+y=4-z\Rightarrow (x+y)^2=(4-z)^2[/tex]
Lại có: [tex](x-y)^2\geq 0\Rightarrow x^2+y^2\geq 2xy\Rightarrow 2(x^2+y^2)\geq x^2+2xy+y^2=(x+y)^2\Rightarrow 2(6-z^2)\geq (4-z)^2\Leftrightarrow 12-2z^2\geq z^2-8z+16\Rightarrow 3z^2-8z+4\leq 0\Leftrightarrow (z-2)(3z-2)\leq 0\Leftrightarrow \frac{2}{3}\leq z\leq 2[/tex]
b) [tex]P=x^3+y^3+z^3=x^3+y^3+(4-x-y)^3=-3 x^2 y + 12 x^2 - 3 x y^2 + 24 x y - 48 x + 12 y^2 - 48 y + 64=3xy(8-x-y)-48(x+y)+12(x^2+y^2)+64=3xy(4+z)-48(4-z)+12(6-z^2)+64=3xy(4+z)-12z^2+48z-56[/tex]
Ta thấy: [tex]xy=5-yz-zx=5-z(x+y)=5-z(4-z)=z^2-4z+5[/tex]
[tex]\Rightarrow P=3(z^2-4z+5)(4+z)-12z^2+48z-56=3 z^3 - 12 z^2 + 15 z + 4[/tex]
Ta thấy: [tex]P=3 z^3 - 12 z^2 + 15 z + 4=(z-2)(3z^2-6z+3)+10=3(z-2)(z-1)^2+10[/tex]
Vì [tex]z\leq 2,(z-1)^2\geq 0\Rightarrow 3(z-2)(z-1)^2\leq 0\Rightarrow P\leq 10[/tex]
Dấu "=" xảy ra tại z = 2 hoặc z = 1.

bạn ơi câu b chưa tính GTNN @Mộc Nhãn

 

[7 1 2 5]

[tex]P=3z^3-12z^2+15z+4=\frac{1}{9}(3z-5)^2(3z-2)+\frac{86}{9}\geq \frac{86}{9}[/tex]
Dấu "=" xảy ra tại [tex]x=\frac{2}{3}[/tex] hoặc [tex]x=\frac{5}{3}[/tex]