Toán 9 Dãy số

[Lena1315]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh rằng $$S=\frac{1}{3(1+\sqrt{2})}+\frac{1}{5(\sqrt{2}+\sqrt{3})}+\frac{1}{7(\sqrt{3}+\sqrt{4})}+...+\frac{1}{97(\sqrt{48}+\sqrt{49})}< \frac{3}{7}$$

p/s: em biết tính $$\frac{1}{(1+\sqrt{2})}+\frac{1}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})}+\frac{1}{(\sqrt{3}+\sqrt{4})}+...+\frac{1}{(\sqrt{48}+\sqrt{49})} = \sqrt{49}-1 = 6$$ rồi ạ

 

[shorlochomevn@gmail.com]

Chứng minh rằng $$S=\frac{1}{3(1+\sqrt{2})}+\frac{1}{5(\sqrt{2}+\sqrt{3})}+\frac{1}{7(\sqrt{3}+\sqrt{4})}+...+\frac{1}{97(\sqrt{48}+\sqrt{49})}< \frac{3}{7}$$

p/s: em biết tính $$\frac{1}{(1+\sqrt{2})}+\frac{1}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})}+\frac{1}{(\sqrt{3}+\sqrt{4})}+...+\frac{1}{(\sqrt{48}+\sqrt{49})} = \sqrt{49}-1 = 6$$ rồi ạ

ta có: $$\frac{1}{(2n+1).(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+1+n}\\\\ +, n+1+n> 2.\sqrt{n+1}.\sqrt{n}\\\\ => \frac{1}{(2n+1).(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})}<\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2.\sqrt{n+1}.\sqrt{n}}=\frac{1}{2\sqrt{n}}-\frac{1}{2\sqrt{n+1}}$$
suy ra: $$S<\frac{1}{2}.(\frac{1}{1}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{48}}-\frac{1}{\sqrt{49}})\\\\ =\frac{1}{2}.(1-\frac{1}{7})=\frac{1}{2}.\frac{6}{7}=\frac{3}{7}$$