Toán 9 Đồng dư

[Takudo]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Tìm các số nguyên dương [TEX]x,y,z[/TEX] thỏa mãn [TEX]xy(x+y)=3^z-1[/TEX]

Bài 2: Chứng minh luôn tồn tại số tự nhiên [TEX]n[/TEX] sao cho [TEX]5^n-1[/TEX] chia hết cho [tex]7^{2018}[/tex]

Bài 3: Chứng minh với mọi số nguyên [TEX]a[/TEX] thì [TEX]a^3-a[/TEX] chia hết cho 6 và [TEX]a^5-a[/TEX] chia hết cho 30

@ankhongu @mbappe2k5 Nghe nói mấy bạn giỏi về đồng dư. Giúp mình với nhé. Cảm ơn ạ.

 

[ankhongu]

Bài 1: Tìm các số nguyên dương [TEX]x,y,z[/TEX] thỏa mãn [TEX]xy(x+y)=3^z-1[/TEX]

Bài 2: Chứng minh luôn tồn tại số tự nhiên [TEX]n[/TEX] sao cho [TEX]5^n-1[/TEX] chia hết cho [tex]7^{2018}[/tex]

Bài 3: Chứng minh với mọi số nguyên [TEX]a[/TEX] thì [TEX]a^3-a[/TEX] chia hết cho 6 và [TEX]a^5-a[/TEX] chia hết cho 30

@ankhongu @mbappe2k5 Nghe nói mấy bạn giỏi về đồng dư. Giúp mình với nhé. Cảm ơn ạ.

Mình cũng chỉ mới biết mấy cái cơ bản về đồng dư thôi, chứ chưa bằng bạn @mbappe2k5 được
3.
C1 : Phân tích đa thức thành nhân tử
C2 : Xét a^3 - a theo mod 2 và 3, xét a^5 - a theo mod 2, 3 và 5 mà 2, 3, 5 là các số nguyên tố cùng nhau --> ĐPCM

 

[Hoàng Vũ Nghị]

Bài 1: Tìm các số nguyên dương [TEX]x,y,z[/TEX] thỏa mãn [TEX]xy(x+y)=3^z-1[/TEX]

Bài 2: Chứng minh luôn tồn tại số tự nhiên [TEX]n[/TEX] sao cho [TEX]5^n-1[/TEX] chia hết cho [tex]7^{2018}[/tex]

Bài 3: Chứng minh với mọi số nguyên [TEX]a[/TEX] thì [TEX]a^3-a[/TEX] chia hết cho 6 và [TEX]a^5-a[/TEX] chia hết cho 30

@ankhongu @mbappe2k5 Nghe nói mấy bạn giỏi về đồng dư. Giúp mình với nhé. Cảm ơn ạ.

2,
Xét lần lượt các số sau
[tex]5^{4036}-1,5^{4037}-1;...;5^{6054}-1[/tex] (2019 số)
Lấy lần lượt các số chia cho [tex]7^{2018}[/tex] được 2019 số dư thuộc {0;1;...;2017)
Nếu có 1 số chia hết cho [tex]7^{2018}[/tex] thì ta có đpcm
Nếu k có số nào chia hết cho [tex]7^{2018}[/tex] thì theo nguyên lí diricle tồn tại ít nhất 2 số cùng số dư khi chia cho [tex]7^{2018}[/tex]
Giả sử là [tex]5^a-1;5^b-1[/tex] (a>b)
Suy ra [tex]5^a-1-5^b+1=5^{b}(5^{a-b}-1)[/tex]
Do (5,7)=1 nên [tex]5^{a-b}-1[/tex] chia hết cho [tex]7^{2018}[/tex]
Vậy tồn tại

 

[ankhongu]

2,
Xét lần lượt các số sau
[tex]5^{4036}-1,5^{4037}-1;...;5^{6054}-1[/tex] (2019 số)
Lấy lần lượt các số chia cho [tex]7^{2018}[/tex] được 2019 số dư thuộc {0;1;...;2017)
Nếu có 1 số chia hết cho [tex]7^{2018}[/tex] thì ta có đpcm
Nếu k có số nào chia hết cho [tex]7^{2018}[/tex] thì theo nguyên lí diricle tồn tại ít nhất 2 số cùng số dư khi chia cho [tex]7^{2018}[/tex]
Giả sử là [tex]5^a-1;5^b-1[/tex] (a>b)
Suy ra [tex]5^a-1-5^b+1=5^{b}(5^{a-b}-1)[/tex]
Do (5,7)=1 nên [tex]5^{a-b}-1[/tex] chia hết cho [tex]7^{2018}[/tex]
Vậy tồn tại

Anh ơi cho em hỏi, nếu số mũ của 5 ta không lấy to đùng đùng như thế mà lấy các số mũ khác miễn sao có 2019 số thì cũng được đúng không ạ ?

 

[Hoàng Vũ Nghị]

bạn thích lấy mũ bao nhiêu cũng được miễn là nó phải lớn hơn cái số cần chia hết
VD số đầu tiên bạn lấy là [tex]5^{100000000000000000000000000}-1[/tex] cũng được miễn sao đủ 2019 số