Toán 9 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

[nhatminh1472005]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số thực a, b, c dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
[tex]P=\frac{1+a^3}{1+ab^2}+\frac{1+b^3}{1+bc^2}+\frac{1+c^3}{1+ca^2}[/tex]

 

[Kaito Kidㅤ]

[tex]P=\sum \frac{1+a^3}{1+ab^2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1+a^3}{1+ab^2}.\frac{1+b^3}{1+bc^2}.\frac{1+c^3}{1+ca^2}}\\(a^3+1)(b^3+1)(b^3+1)\geq (1+ab^2)^3\\(b^3+1)(c^3+1)(c^3+1)\geq (1+bc^2)^3\\(c^3+1)(a^3+1)(a^3+1)\geq (1+a^2c)^3\\\rightarrow (a^3+1)(b^3+1)(c^3+1)\geq (1+ab^2)(1+bc^2)(1+ca^2)\\\rightarrow P\geq 3[/tex]

 

[nhatminh1472005]

[tex]P=\sum \frac{1+a^3}{1+ab^2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1+a^3}{1+ab^2}.\frac{1+b^3}{1+bc^2}.\frac{1+c^3}{1+ca^2}}\\(a^3+1)(b^3+1)(b^3+1)\geq (1+ab^2)^3\\(b^3+1)(c^3+1)(c^3+1)\geq (1+bc^2)^3\\(c^3+1)(a^3+1)(a^3+1)\geq (1+a^2c)^3\\\rightarrow (a^3+1)(b^3+1)(c^3+1)\geq (1+ab^2)(1+bc^2)(1+ca^2)\\\rightarrow P\geq 3[/tex]

Dòng thứ 2,3,4 của bạn thì bạn áp dụng BĐT gì vậy?

 

[Hoàng Vũ Nghị]

Dòng thứ 2,3,4 của bạn thì bạn áp dụng BĐT gì vậy?

bđt Holder

 

[nhatminh1472005]

bđt Holder

Đó là BĐT như thế nào vậy ạ? Chứng minh BĐT như thế nào ạ?
Lên gg để có thể hiểu rõ hơn nha

 

[ankhongu]

bđt Holder

Ngoài BĐT holder đó thì còn cách nào khác không thế ạ ?

 

[nhatminh1472005]

Lên gg để có thể hiểu rõ hơn nha

Em xem trên google rồi mà thấy BĐT Holder toàn viết kiểu cấp 3 mà toàn kí hiệu gì em không hiểu ạ

 

[Nguyễn Quế Sơn]

Em xem trên google rồi mà thấy BĐT Holder toàn viết kiểu cấp 3 mà toàn kí hiệu gì em không hiểu ạ

BĐT Holder mình chỉ biết dạng này: [tex](a^{3}+b^{3}+c^{3})(m^{3}+n^{3}+p^{2})(u^{3}+v^{3}+w^{3})\geq (amu+bnv+cpw)^{3}[/tex]

 

[nhatminh1472005]

BĐT Holder mình chỉ biết dạng này: [tex](a^{3}+b^{3}+c^{3})(m^{3}+n^{3}+p^{2})(u^{3}+v^{3}+w^{3})[/tex]

Nó lớn hơn hay bé hơn hoặc bằng gì ạ?

 

[Hoàng Vũ Nghị]

Nó lớn hơn hay bé hơn hoặc bằng gì ạ?

[tex](a^3+b^3+c^3)(m^3+n^3+p^3)(u^3+v^3+w^3)\geq(amu+bnv+cpw)^3[/tex]

 

[nhatminh1472005]

[tex](a^3+b^3+c^3)(m^3+n^3+p^3)(u^3+v^3+w^3)\geq(amu+bnv+cpw)^3[/tex]

Anh biết CM thế nào không ạ?

 

[Hoàng Vũ Nghị]

Anh biết CM thế nào không ạ?

Đặt VT=...
[tex]\frac{a^3}{a^3+b^3+c^3}+\frac{m^3}{m^3+n^3+p^3}+\frac{u^3}{u^3+v^3+w^3}\geq \frac{3amu}{\sqrt[3]{...}}\\\frac{b^3}{a^3+b^3+c^3}+\frac{n^3}{m^3+n^3+p^3}+\frac{v^3}{u^3+v^3+w^3}\geq \frac{3bnv}{\sqrt[3]{...}}\\\frac{c^3}{a^3+b^3+c^3}+\frac{p^3}{m^3+n^3+p^3}+\frac{w^3}{u^3+v^3+w^3}\geq \frac{3cpw}{\sqrt[3]{...}}\\\Rightarrow 3\geq \frac{3(amu+bnv+cpw)}{\sqrt[3]{...}}\\\Leftrightarrow ...\geq (amu+bnv+cpw)^3[/tex]

 

[nhatminh1472005]

Đặt VT=...
[tex]\frac{a^3}{a^3+b^3+c^3}+\frac{m^3}{m^3+n^3+p^3}+\frac{u^3}{u^3+v^3+w^3}\geq \frac{3amu}{\sqrt[3]{...}}\\\frac{b^3}{a^3+b^3+c^3}+\frac{n^3}{m^3+n^3+p^3}+\frac{v^3}{u^3+v^3+w^3}\geq \frac{3bnv}{\sqrt[3]{...}}\\\frac{c^3}{a^3+b^3+c^3}+\frac{p^3}{m^3+n^3+p^3}+\frac{w^3}{u^3+v^3+w^3}\geq \frac{3cpw}{\sqrt[3]{...}}\\\Rightarrow 3\geq \frac{3(amu+bnv+cpw)}{\sqrt[3]{...}}\\\Leftrightarrow ...\geq (amu+bnv+cpw)^3[/tex]

Dấu bằng xảy ra khi nào ạ? Có phải khi mọi biến bằng nhau không ạ?

 

[Hoàng Vũ Nghị]

Dấu bằng xảy ra khi nào ạ? Có phải khi mọi biến bằng nhau không ạ?

trong mọi tài liệu đều không thấy nói gì