Toán 9 Bất đẳng thức

[Lê.T.Hà]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số thực không âm đôi một phân biệt [tex]x;y;z[/tex], chứng minh:
[tex]\frac{x+y}{(x-y)^2}+\frac{y+z}{(y-z)^2}+\frac{z+x}{(z-x)^2}\geq \frac{9}{x+y+z}[/tex]
Giúp em với ạ, em cảm ơn

 

[Ngoc Anhs]

Cho các số thực không âm đôi một phân biệt [tex]x;y;z[/tex], chứng minh:
[tex]\frac{x+y}{(x-y)^2}+\frac{y+z}{(y-z)^2}+\frac{z+x}{(z-x)^2}\geq \frac{9}{x+y+z}[/tex]
Giúp em với ạ, em cảm ơn

Không mất tính tổng quát, giả sử [tex]x> y> z\geq 0[/tex]
Khi đó ta có:
[tex]\frac{y+z}{(y-z)^{2}}=\frac{1}{y}+\frac{z(3y-z)}{y(y-z)^{2}}\geq \frac{1}{y}[/tex]
[tex]\frac{z+x}{(z-x)^{2}}=\frac{1}{x}+\frac{z(3x-z)}{x(z-x)^{2}}\geq \frac{1}{x}[/tex]
Suy ra
[tex]\left [ \frac{x+y}{(x-y)^{2}} +\frac{y+z}{(y-z)^{2}}+\frac{z+x}{(z-x)^{2}}\right ](x+y+z)\geq \left [ \frac{x+y}{(x-y)^{2}}+\frac{1}{y} +\frac{1}{x}\right ](x+y+z)\geq \frac{(x+y+z)(x+y)}{(x-y)^{2}}+(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})[/tex] [tex]\geq \frac{(x+y)^{2}}{(x-y)^{2}}+\frac{(x+y)^{2}}{xy}\geq 1+\frac{4xy}{(x-y)^{2}}+4+\frac{(x-y)^{2}}{xy}[/tex]
Áp dụng AM-GM:
[tex]\left [ \frac{x+y}{(x-y)^{2}}+\frac{y+z}{(y-z)^{2}}+\frac{z+x}{(z-x)^{2}} \right](x+y+z)\geq 5+2\sqrt{\frac{4xy}{(x-y)^{2}}.\frac{(x-y)^{2}}{xy}}\geq 9[/tex]
=> đpcm
Vì [tex]x> y> z\geq 0[/tex]
Dấu = xảy ra khi x=(2+√3)y , z=0