Toán 8 BĐT cô si

[do dinh nam]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a;b;c;d>0..CM:
[tex]\frac{a-d}{b+d}+\frac{d-b}{c+b}+\frac{b-c}{a+c}+\frac{c-a}{d+a}\geq 0[/tex]
Giup mk nha21!!

 

[Minh Dora]

Giup mk nha21!![/QUOTE]
Áp dụng AM-GM ta có:
[tex]\frac{a-d}{d+b}=\frac{a+b}{b+d}-1\Rightarrow \frac{a-d}{d+b}+\frac{d-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+a}+\frac{c-a}{a+d}=\frac{a+b}{b+d}+\frac{c+d}{b+c}+\frac{b+a}{c+a}+\frac{d+c}{a+d}-4\geq \frac{4(a+b)}{a+b+c+d}+\frac{4(c+d)}{a+b+c+d}-4=4-4=0[tex] Dấu = xảy ra khi a=b=c=d[/tex][/tex]

 

[Mashiro Shiina]

Mk nghĩ dấu bằng bài bạn @Minh Dora sai
[tex]A=\frac{a-b}{b+d}+\frac{d-b}{c+b}+\frac{b-c}{a+c}+\frac{c-a}{d+a}[/tex]
[tex]=>A+4=(\frac{a-d}{b+d}+1)+(\frac{d-b}{c+b}+1)+(\frac{b-c}{a+c}+1)+(\frac{c-a}{d+a}+1)[/tex]
[tex]=>A+4=\frac{a+b}{b+d}[/tex] +[tex]\frac{c+d}{b+c}[/tex] +[tex]\frac{a+b}{a+c}[/tex]+[tex]\frac{c+d}{d+a}[/tex]
[tex]=[tex](a+b)(\frac{1}{b+d}+\frac{1}{a+c})[/tex]+[tex](c+d)(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a})[/tex]
Áp dụng bđt Caychy-Schwarz =>
[tex]A+4\geq[/tex] [tex]\frac{4(a+b)}{a+b+c+d}+\frac{4(c+d)}{a+b+c+d}=4[/tex]
[tex]=>A\geq 0[/tex]
Dấu "-" xảy ra khi: [tex]a=b;c=d[/tex][/tex]

 

[Học Trò Của Sai Lầm]

Mk nghĩ dấu bằng bài bạn @Minh Dora sai
[tex]A=\frac{a-b}{b+d}+\frac{d-b}{c+b}+\frac{b-c}{a+c}+\frac{c-a}{d+a}[/tex]
[tex]=>A+4=(\frac{a-d}{b+d}+1)+(\frac{d-b}{c+b}+1)+(\frac{b-c}{a+c}+1)+(\frac{c-a}{d+a}+1)[/tex]
[tex]=>A+4=\frac{a+b}{b+d}[/tex] +[tex]\frac{c+d}{b+c}[/tex] +[tex]\frac{a+b}{a+c}[/tex]+[tex]\frac{c+d}{d+a}[/tex]
[tex]=[tex](a+b)(\frac{1}{b+d}+\frac{1}{a+c})[/tex]+[tex](c+d)(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a})[/tex]
Áp dụng bđt Caychy-Schwarz =>
[tex]A+4\geq[/tex] [tex]\frac{4(a+b)}{a+b+c+d}+\frac{4(c+d)}{a+b+c+d}=4[/tex]
[tex]=>A\geq 0[/tex]
Dấu "-" xảy ra khi: [tex]a=b;c=d[/tex][/tex]

Đẳng thức của chú em sai rồi, thử a=b=1, c=d=2

 

[Mashiro Shiina]

Đẳng thức của chú em sai rồi, thử a=b=1, c=d=2

Bạn ơi thay rồi nó có bằng mà bạn? Bạn có nhầm ở đâu ko ạ? Tại bài này mk cũng có làm 1 lần ở đội tuyển r

 

[Học Trò Của Sai Lầm]

Bạn ơi thay rồi nó có bằng mà bạn? Bạn có nhầm ở đâu ko ạ? Tại bài này mk cũng có làm 1 lần ở đội tuyển r

Thế thì chú em nên thay cái máy tính đi

 

[Minh Dora]

Bạn ơi thay rồi nó có bằng mà bạn? Bạn có nhầm ở đâu ko ạ? Tại bài này mk cũng có làm 1 lần ở đội tuyển r

Thay a=b=1; c=d=2
Ta có:[tex]A=\frac{a-b}{b+d}+\frac{d-b}{c+b}+\frac{b-c}{a+c}+\frac{c-a}{d+a} =\frac{1-1}{1+2}+\frac{2-1}{2+1}+\frac{1-2}{1+2}+\frac{2-1}{2+1} =\frac{1}{3}[/tex]

 

[Mashiro Shiina]

Thay a=b=1; c=d=2
Ta có:[tex]A=\frac{a-b}{b+d}+\frac{d-b}{c+b}+\frac{b-c}{a+c}+\frac{c-a}{d+a} =\frac{1-1}{1+2}+\frac{2-1}{2+1}+\frac{1-2}{1+2}+\frac{2-1}{2+1} =\frac{1}{3}[/tex]

ahihi bạn nhầm rồi kìa. cái đầu là a-d/b+d not a-b/b+d nhé :3

 

[Hoàng Vũ Nghị]

Cho a;b;c;d>0..CM:
[tex]\frac{a-d}{b+d}+\frac{d-b}{c+b}+\frac{b-c}{a+c}+\frac{c-a}{d+a}\geq 0[/tex]
Giup mk nha21!!

Cách khác nhé
[tex]\frac{a-d}{b+d}+\frac{d-b}{c+b}+\frac{b-c}{c+a}+\frac{c-a}{d+a}+4\\=\frac{a+b}{b+d}+\frac{d+c}{c+b}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{c+d}{d+a}[/tex]
[tex]\frac{a+b}{b+d}=\frac{a}{b+d}+\frac{b}{b+d}+\frac{b+d}{a}+\frac{b+d}{b}-\frac{b+d}{a}-\frac{b+d}{b}\\\geq 2+2-(\frac{b}{a}+\frac{d}{a}+1+\frac{d}{b})\\=3-\frac{b}{a}-\frac{d}{a}-\frac{d}{b}[/tex]
Chứng minh tương tự ta có đpcm ..Cái đống sau dấu trừ dễ dàng chứng minh bằng cauchy

 

[Mashiro Shiina]

Cách khác nhé
[tex]\frac{a-d}{b+d}+\frac{d-b}{c+b}+\frac{b-c}{c+a}+\frac{c-a}{d+a}+4\\=\frac{a+b}{b+d}+\frac{d+c}{c+b}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{c+d}{d+a}[/tex]
[tex]\frac{a+b}{b+d}=\frac{a}{b+d}+\frac{b}{b+d}+\frac{b+d}{a}+\frac{b+d}{b}-\frac{b+d}{a}-\frac{b+d}{b}\\\geq 2+2-(\frac{b}{a}+\frac{d}{a}+1+\frac{d}{b})\\=3-\frac{b}{a}-\frac{d}{a}-\frac{d}{b}[/tex]
Chứng minh tương tự ta có đpcm ..Cái đống sau dấu trừ dễ dàng chứng minh bằng cauchy

Ngược dấu r bạn.trừ mà >= thì phải <= chứ