Toán 9 Chứng minh Bất đẳng thức

[Lê Quỳnh Phương]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng:
$$(\frac{\sqrt{y+z}}{x}+\frac{\sqrt{z+x}}{y}+\frac{\sqrt{x+y}}{z})\geq \frac{4(x+y+z)}{\sqrt{(y+z)(x+y)(x+z)}}$$

 

[Tiểu Linh Hàn]

Cái ngoặc bên vế trái có mũ không vậy bạn?

 

[Lê Quỳnh Phương]

Cái ngoặc bên vế trái có mũ không vậy bạn?

không có bạn ạ

 

[Kaito Kidㅤ]

Biết cái này chưa man
$$\sum$$

 

[Lê Quỳnh Phương]

Biết cái này chưa man
$$\sum$$

có nhìn qua
làm gì vậy?

 

[Kaito Kidㅤ]

có nhìn qua
làm gì vậy?

Hiểu ko để mình làm theo cách này ko thì mình nghĩ cách khjacs !

 

[Lê Quỳnh Phương]

Hiểu ko để mình làm theo cách này ko thì mình nghĩ cách khjacs !

không hiểu rõ lắm

 

[Tiểu Linh Hàn]

không hiểu rõ lắm

Kí hiệu tổng sigma
Lên google surf nha fen

 

[Lê Quỳnh Phương]

Kí hiệu tổng sigma
Lên google surf nha fen

bạn giải hộ mình được không?

 

[Lê Quỳnh Phương]

Ko hiểu hả mình giải cho cách này

chỉ mình đi, mình cần gấp

 

[Kaito Kidㅤ]

Có:
$$(\frac{\sqrt{y+z}}{x}+\frac{\sqrt{z+ x}}{y}+\frac{\sqrt{x+y}}{z}).\sqrt{(y+z)(z+x)(x+y)}\\=\frac{(y+z).\sqrt{(z+x)(x+y})}{x}+\frac{(z+x).\sqrt{(x+y)(y+z)}}{y}+\frac{(x+y).\sqrt{(x+z)(y+z)}}{z}$$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz $$(a+b)(a+c)\geq (a+\sqrt{bc})^2\rightarrow \sqrt{(a+b)(a+c)}\geq a+\sqrt{bc}$$ Có
$$\frac{(y+z).\sqrt{(z+x)(x+y})}{x}+\frac{(z+x).\sqrt{(x+y)(y+z)}}{y}+\frac{(x+y).\sqrt{(x+z)(y+z)}}{z}\\\geq \frac{(y+z).(x+\sqrt{yz})}{x}+\frac{(z+x).(y+\sqrt{xz})}{y}+\frac{(x+y)(z+\sqrt{xy})}{z}\\=(y+z+\frac{(y+z)\sqrt{zy}}{x})+(y+x+\frac{(y+x)\sqrt{xy}}{z})+(x+z+\frac{(x+z)\sqrt{xz}}{y})\\=2(x+y+z)+\frac{(y+z)\sqrt{zy}}{x}+\frac{(y+x)\sqrt{xy}}{z}+\frac{(x+z)\sqrt{xz}}{y}\\=2(x+y+z)+\frac{(y+z)\sqrt{zy}}{x}+\frac{(y+x)\sqrt{xy}}{z}+\frac{(x+z)\sqrt{xz}}{y}$$
Áp dụng BĐT Cauchy $$a+b\geq 2\sqrt{ab}$$ có:
$$2(x+y+z)+\frac{(y+z)\sqrt{zy}}{x}+\frac{(y+x)\sqrt{xy}}{z}+\frac{(x+z)\sqrt{xz}}{y}\\\geq 2(x+y+z)+\frac{2\sqrt{yz}.\sqrt{yz}}{x}+\frac{2\sqrt{yx}.\sqrt{yx}}{z}+\frac{2\sqrt{xz}.\sqrt{xz}}{y}\\=2(x+y+z)+\frac{2yz}{x}+\frac{2xy}{z}+\frac{2zx}{y}\\=2(x+y+z)+\frac{2y^2z^2}{xyz}+\frac{2x^2y^2}{xyz}+\frac{2z^2x^2}{xyz}\\=2(x+y+z)+\frac{2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)}{xyz}$$
Áp dụng BĐT phụ $$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$$ có
$$2(x+y+z)+\frac{2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)}{xyz}\\\geq 2(x+y+z)+\frac{2(x^2yz+y^2xz+z^2xy)}{xyz}\\=2(x+y+z)+\frac{2xyz(x+y+z)}{xyz}\\=2(x+y+z)+2(x+y+z)\\=4(x+y+z)$$
Suy ra
$$(\frac{\sqrt{y+z}}{x}+\frac{\sqrt{z+ x}}{y}+\frac{\sqrt{x+y}}{z}).\sqrt{(y+z)(z+x)(x+y)} \geq 4(x+y+z)\\\rightarrow dpcm$$

 

[Kaito Kidㅤ]

Kể man hiểu cái sum kia thì làm theo cách này
$$VT\geq \sum \frac{(y+z)(x+\sqrt{yz})}{x}=\sum( y+z+\frac{(y+z)\sqrt{yz}}{x})\geq 2(x+y+z)+\sum \frac{2yz}{x}\geq 4(x+y+z)$$

 

[Tiểu Linh Hàn]

Kể man hiểu cái sum kia thì làm theo cách này
$$VT\geq \sum \frac{(y+z)(x+\sqrt{yz})}{x}=\sum( y+z+\frac{(y+z)\sqrt{yz}}{x})\geq 2(x+y+z)+\sum \frac{2yz}{x}\geq 4(x+y+z)$$

Cái đó cấp 2 đâu có xài đc

 

[Kaito Kidㅤ]

Cái đó cấp 2 đâu có xài đc

bao giờ mới xài dc !

 

[Lê Quỳnh Phương]

Kể man hiểu cái sum kia thì làm theo cách này
$$VT\geq \sum \frac{(y+z)(x+\sqrt{yz})}{x}=\sum( y+z+\frac{(y+z)\sqrt{yz}}{x})\geq 2(x+y+z)+\sum \frac{2yz}{x}\geq 4(x+y+z)$$

Cái đó cấp 2 đâu có xài đc

cái này chị mình có nói qua, chỉ là hơi lơ mơ
cảm ơn hai bạn nhiều ạ

 

[Tiểu Linh Hàn]

bao giờ mới xài dc !

Lên cấp 3 nha Lúc đấy học tổ hợp xác suất mới có công thức này

 

[Lê Quỳnh Phương]

Đã gửi 16-08-2013 - 22:54
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương
∑y+zyz(4−yz)≥2" role="presentation" style="display: inline-block; line-height: 0; font-size: 16.38px; overflow-wrap: normal; word-spacing: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border: 0px; margin: 0px; padding: 1px 0px; position: relative;">∑y+zyz(4−yz)≥2∑y+zyz(4−yz)≥2
Có VT≥∑2yz(4−yz)=∑2yz(2−yz)(2+yz)≥∑2(yz+2−yz2)2(2+yz)=∑22+yz≥2.96+∑yz≥186+∑y+z2" role="presentation" style="line-height: 0; text-align: center; font-size: 16.38px; overflow-wrap: normal; word-spacing: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 42.273em; min-height: 0px; border: 0px; margin: 0px; padding: 1px 0px; width: 10000em; position: relative; display: table-cell !important;">≥∑2√yz(4−yz)=∑2√yz(2−√yz)(2+√yz)≥∑2(√yz+2−√yz2)2(2+√yz)=∑22+√yz≥2.96+∑√yz≥186+∑y+z2≥∑2yz(4−yz)=∑2yz(2−yz)(2+yz)≥∑2(yz+2−yz2)2(2+yz)=∑22+yz≥2.96+∑yz≥186+∑y+z2
=186+∑x=2" role="presentation" style="display: inline-block; line-height: 0; font-size: 16.38px; overflow-wrap: normal; word-spacing: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border: 0px; margin: 0px; padding: 1px 0px; position: relative;">=186+∑x=2=186+∑x=2
Đẳng thức xảy ra khi x=y=z=1" role="presentation" style="display: inline-block; line-height: 0; font-size: 16.38px; overflow-wrap: normal; word-spacing: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border: 0px; margin: 0px; padding: 1px 0px; position: relative;">x=y=z=1

không biết bạn copy ở trang nào nhưng lỗi nặng rồi ak