Toán 12 Min của [tex]P=\frac{x^{2}}{1+2y}+\frac{4y^{2}}{1+x}[/tex]

[Lê Đức Long]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [tex]x,y[/tex] là các số thực dương tm [tex]\log (x+2y)=logx+logy[/tex] Khi đó, GTNN của biểu thức [tex]P=\frac{x^{2}}{1+2y}+\frac{4y^{2}}{1+x}[/tex]

 

[nvuhoang5]

Cho [tex]x,y[/tex] là các số thực dương tm [tex]\log (x+2y)=logx+logy[/tex] Khi đó, GTNN của biểu thức [tex]P=\frac{x^{2}}{1+2y}+\frac{4y^{2}}{1+x}[/tex]

Ta có: [tex]log ( x+2y)=log x + log y<=>x+2y=xy[/tex]
Đặt [tex]2y=a =>x+a=\tfrac{xa}{2}[/tex]. [tex]P=\frac{x^2}{1+a}+\frac{a^2}{1+x}\geq \frac{(a+x)^2}{2+a+x}[/tex]
Đặt [tex]a+x=t[/tex]. Ta có: [tex]P\geq \frac{t^2}{t+2}[/tex]
[tex]t=\frac{xa}{2}\leq \frac{\frac{(x+a)^2}{4}}{2}=\frac{t^2}{8}<=>t^2-8t\geq 0<=>t\geq 8[/tex]
Xét hàm số: [tex]f(t)=\frac{t^2}{t+2}[/tex]
[tex]f'(t)=\frac{t^2+4t}{(t+2)^2}> 0[/tex] với [tex]t\geq 8[/tex]
Do đó: f(t) đồng biến trên [tex]\left [ 8;+\propto \right ][/tex] nên min = f(8)=[tex]\frac{32}{5}[/tex]

 

[Lê Đức Long]

Ta có: [tex]log ( x+2y)=log x + log y<=>x+2y=xy[/tex]
Đặt [tex]2y=a =>x+a=\tfrac{xa}{2}[/tex]. [tex]P=\frac{x^2}{1+a}+\frac{a^2}{1+x}\geq \frac{(a+x)^2}{2+a+x}[/tex]
Đặt [tex]a+x=t[/tex]. Ta có: [tex]P\geq \frac{t^2}{t+2}[/tex]
[tex]t=\frac{xa}{2}\leq \frac{\frac{(x+a)^2}{4}}{2}=\frac{t^2}{8}<=>t^2-8t\geq 0<=>t\geq 8[/tex]
Xét hàm số: [tex]f(t)=\frac{t^2}{t+2}[/tex]
[tex]f'(t)=\frac{t^2+4t}{(t+2)^2}> 0[/tex] với [tex]t\geq 8[/tex]
Do đó: f(t) đồng biến trên [tex]\left [ 8;+\propto \right ][/tex] nên min = f(8)=[tex]\frac{32}{5}[/tex]

Dòng thứ 2 biến đổi P ntn thế bạn

 

[nvuhoang5]

Dòng thứ 2 biến đổi P ntn thế bạn

?? P có phải biến đổi đâu bạn ơi . đặt 2y = a thì nó thay vào thôi

 

[Lê Đức Long]

?? P có phải biến đổi đâu bạn ơi . đặt 2y = a thì nó thay vào thôi

chỗ biến đổi BĐT P> ấy

 

[nvuhoang5]

chỗ biến đổi BĐT P> ấy

Đoạn đấy là dùng bất đẳng thức svat nhé:
Công thức: [tex]\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\geq \frac{(a+b)^2}{x+y}[/tex] áp dụng vào bạn nhé. Đây là một dạng suy rộng của bunhia cốp ski.