Toán 9 Chứng minh đẳng thức (AB+CA)(BC2+AC2−AB2)=2BC.CA2(AB+CA)(BC^{2}+AC^{2}-AB^{2})=2BC.CA^{2}

[Thái Vĩnh Đạt]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC. Đường trung tuyến AD, đường cao BH, đường phân giác CE đồng qui. Chứng minh đẳng thức $$(AB+CA)(BC^{2}+AC^{2}-AB^{2})=2BC.CA^{2}$$

 

[candyiukeo2606]

Ta có:
$CH^2 = BC^2 - BH^2 = BC^2 - (AB^2 - AH^2) = BC^2 - AB^2 + (AC - HC)^2 = BC^2 + AC^2 + CH^2 - 2AC.CH$
.=> $2AC.CH = BC^2 + AC^2 - AB^2$
=> $CH = \frac{BC^2 + AC^2 - AB^2}{2AC}$
$AH^2 = AB^2 - BH^2 = AB^2 - (BC^2 - CH^2) = AB^2 - BC^2 + (AC - AH)^2 = AB^2 + AC^2 - BC^2 + AH^2 - 2AC.AH$
=> $2AC.AH = AB^2 + AC^2 - BC^2$
=> $AH = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2AC}$
=> $\frac{CH}{AH} = \frac{BC^2 + AC^2 - AB^2}{AB^2 + AC^2 - BC^2}$ (*)
Gọi K là giao điểm của trung tuyến AD, đường cao BH, đường phân giác CE
=> $\frac{CD}{AD} = \frac{BC}{2AC} = \frac{OD}{OA}$ (**)
Gọi I là trung điểm HC => ID // BH
=> $\frac{OD}{OA} = \frac{IH}{AH} = \frac{HC}{2AH}$ (***)
Từ (*), (**), (***) => $\frac{CH}{AH} = \frac{BC}{AC}$
<=> $\frac{BC^2 + AC^2 - AB^2}{AB^2 + AC^2 - BC^2} = \frac{BC}{AC}$
Sau đó quy đồng và phân tích thành nhân tử thì sẽ ra đẳng thức cần chứng minh

 

[Thái Vĩnh Đạt]

Ta có:
$CH^2 = BC^2 - BH^2 = BC^2 - (AB^2 - AH^2) = BC^2 - AB^2 + (AC - HC)^2 = BC^2 + AC^2 + CH^2 - 2AC.CH$
.=> $2AC.CH = BC^2 + AC^2 - AB^2$
=> $CH = \frac{BC^2 + AC^2 - AB^2}{2AC}$
$AH^2 = AB^2 - BH^2 = AB^2 - (BC^2 - CH^2) = AB^2 - BC^2 + (AC - AH)^2 = AB^2 + AC^2 - BC^2 + AH^2 - 2AC.AH$
=> $2AC.AH = AB^2 + AC^2 - BC^2$
=> $AH = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2AC}$
=> $\frac{CH}{AH} = \frac{BC^2 + AC^2 - AB^2}{AB^2 + AC^2 - BC^2}$ (*)
Gọi K là giao điểm của trung tuyến AD, đường cao BH, đường phân giác CE
=> $\frac{CD}{AD} = \frac{BC}{2AC} = \frac{OD}{OA}$ (**)
Gọi I là trung điểm HC => ID // BH
=> $\frac{OD}{OA} = \frac{IH}{AH} = \frac{HC}{2AH}$ (***)
Từ (*), (**), (***) => $\frac{CH}{AH} = \frac{BC}{AC}$
<=> $\frac{BC^2 + AC^2 - AB^2}{AB^2 + AC^2 - BC^2} = \frac{BC}{AC}$
Sau đó quy đồng và phân tích thành nhân tử thì sẽ ra đẳng thức cần chứng minh

Tại sao $\frac{CD}{AD} = \frac{BC}{2AC} = \frac{OD}{OA}$ (**) vậy bạn??

 

[candyiukeo2606]

Tại sao $\frac{CD}{AD} = \frac{BC}{2AC} = \frac{OD}{OA}$ (**) vậy bạn??

Ah mình gõ lộn, là $\frac{CD}{AC} = \frac{BC}{2AC}$ nha bạn :3