Toán 10 $P$=[tex]\frac{ab}{\sqrt{ab+c}}+\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}+\frac{ac}{\sqrt{b+ac}}[/tex]

[bita09]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $a;b;c>0$ và $a+b+c=1$. Tìm $GTLN$
$P$=[tex]\frac{ab}{\sqrt{ab+c}}+\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}+\frac{ac}{\sqrt{b+ac}}[/tex]

 

[hdiemht]

View attachment 68954

[tex]P=..=\frac{ab}{\sqrt{c(a+b+c)+ab}}+\frac{bc}{\sqrt{a(a+b+c)+bc}}+\frac{ca}{\sqrt{b(a+b+c)+ac}}[/tex]
[tex]P=\frac{ab}{\sqrt{(c+a)(b+c)}}+\frac{bc}{\sqrt{(a+c)(a+b)}}+\frac{ac}{\sqrt{(b+a)(b+c)}}[/tex]
Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta được:
[tex]P\leq \frac{1}{2}(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{a+c}+\frac{bc}{a+b}+\frac{ac}{a+b}+\frac{ac}{b+c})[/tex]
[tex]= \frac{1}{2}(a+b+c)=\frac{1}{2}[/tex]
Dấu ''='' xảy ra khi: [tex]a=b=c=\frac{1}{3}[/tex]
[tex]Max_{P}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}[/tex]

 

[quynhphong@gmail.com]

[tex]P=..=\frac{ab}{\sqrt{c(a+b+c)+ab}}+\frac{bc}{\sqrt{a(a+b+c)+bc}}+\frac{ca}{\sqrt{b(a+b+c)+ac}}[/tex]
[tex]P=\frac{ab}{\sqrt{(c+a)(b+c)}}+\frac{bc}{\sqrt{(a+c)(a+b)}}+\frac{ac}{\sqrt{(b+a)(b+c)}}[/tex]
Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta được:
[tex]P\leq \frac{1}{2}(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{a+c}+\frac{bc}{a+b}+\frac{ac}{a+b}+\frac{ab}{b+c})[/tex]
[tex]= \frac{1}{2}(a+b+c)=\frac{1}{2}[/tex]
Dấu ''='' xảy ra khi: [tex]a=b=c=\frac{1}{3}[/tex]
[tex]Max_{P}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}[/tex]

Anh ơi,BĐT AM-GM là j vậy ạ?

 

[bita09]

Anh ơi,BĐT AM-GM là j vậy ạ?

là bất đẳng thức Cô- si đó bạn

 

[hdiemht]

Anh ơi,BĐT AM-GM là j vậy ạ?

Aiza, bạn hỏi $google$ chắc nhanh và đầy đủ hơn đó!
_______
$AM-GM$ là viết tắt của từ $Arithmetic$ and $geometric means$, nghĩa là trung bình cộng và trung bình nhân, bất đẳng thức $AM-GM$ được phát biểu như sau:
Với $n$ số thực không âm $( n>1)$ ta luôn có:
[tex]\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}\geq \sqrt[n]{a_{1}.a_{2}...a_{n}}[/tex]
Dấu "=" xảy ra [tex]\Leftrightarrow a_{1}=a_{2}=...=a_{n}[/tex]
Có rất nhiều cách để chứng minh $BDT$ này nhưng nhanh nhất là cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp của $Cauchy$ nên nhiều người lầm tưởng rằng $Cauchy$ phát hiện ra $BDT$ này. Tên gọi $BDT$ $Cauchy$ được sử dụng trong hầu hết các tài liệu của Việt Nam. Và tên gọi $BDT$ $AM-GM$ là tên gọi chuẩn được quốc tế sử dụng.

 

[bita09]

[tex]P=..=\frac{ab}{\sqrt{c(a+b+c)+ab}}+\frac{bc}{\sqrt{a(a+b+c)+bc}}+\frac{ca}{\sqrt{b(a+b+c)+ac}}[/tex]
[tex]P=\frac{ab}{\sqrt{(c+a)(b+c)}}+\frac{bc}{\sqrt{(a+c)(a+b)}}+\frac{ac}{\sqrt{(b+a)(b+c)}}[/tex]
Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta được:
[tex]P\leq \frac{1}{2}(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{a+c}+\frac{bc}{a+b}+\frac{ac}{a+b}+\frac{ab}{b+c})[/tex]
[tex]= \frac{1}{2}(a+b+c)=\frac{1}{2}[/tex]
Dấu ''='' xảy ra khi: [tex]a=b=c=\frac{1}{3}[/tex]
[tex]Max_{P}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}[/tex]

Dòng thứ 4 từ trên xuống chỗ cuối phải là [tex]\frac{ac}{b+c}[/tex] chứ bạn
#hdiemht: Đúng rồi bạn, gõ nhanh nên bị nhầm!

 

[quynhphong@gmail.com]

Aiza, bạn hỏi $google$ chắc nhanh và đầy đủ hơn đó!
_______
$AM-GM$ là viết tắt của từ $Arithmetic$ and $geometric means$, nghĩa là trung bình cộng và trung bình nhân, bất đẳng thức $AM-GM$ được phát biểu như sau:
Với $n$ số thực không âm $( n>1)$ ta luôn có:
[tex]\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}\geq \sqrt[n]{a_{1}.a_{2}...a_{n}}[/tex]
Dấu "=" xảy ra [tex]\Leftrightarrow a_{1}=a_{2}=...=a_{n}[/tex]
Có rất nhiều cách để chứng minh $BDT$ này nhưng nhanh nhất là cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp của $Cauchy$ nên nhiều người lầm tưởng rằng $Cauchy$ phát hiện ra $BDT$ này. Tên gọi $BDT$ $Cauchy$ được sử dụng trong hầu hết các tài liệu của Việt Nam. Và tên gọi $BDT$ $AM-GM$ là tên gọi chuẩn được quốc tế sử dụng.

à vâng ạ..thật ra em cũng biết BĐT và cách CM BĐT trên nhưng mà mỗi lần em viết cũng là Áp dụng BĐT trên ta có: rồi thay luôn số vào chứ em cũng ko biết tên thật của BĐT ạ....(ở trong quyển toán Nâng cao và phát triển)