Toán 8 chứng minh

[hangviem02@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

chứng minh rằng n^6+n^4-2n^2 chia hết cho 72 với mọi số nguyên n

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

chứng minh rằng n^6+n^4-2n^2 chia hết cho 72 với mọi số nguyên n

Ta có: $A=n^6+n^4-2n^2=n^2(n+1)(n-1)(n^2+2)$

• Nếu $n=2k$ thì $A=4k^2(2k+1)(2k-1)(4k^2+2)=8k^2(2k+1)(2k-1)(2k^2+1) \ \vdots \ 8$
• Nếu $n=2k+1$ thì $A=(2k+1)^2(2k+2) .2k((2k+1)^2+2)=4k(k+1)(2k+1)^2(4k^2+4k+3) \ \vdots \ 8$

Suy ra $A$ chia hết cho $8$.

• Nếu $n=3k$ thì $n^2=9k^2 \ \vdots \ 9 \Rightarrow A \ \vdots \ 9$.
• Nếu $n=3k \pm 1$ thì $n^2 \equiv 1 \ (mod \ 3) \Rightarrow n^2+2 \equiv 0 \ (mod \ 3)$
  Mà $n(n+1)(n-1)$ là tích $3$ số nguyên liên tiếp nên chia hết cho $3 \Rightarrow A \ \vdots \ 9$.

Suy ra $A$ chia hết cho $9$.
Mà $(8;9)=1 \Rightarrow A \ \vdots \ 72$ (đpcm)