Chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA_I_(ABCD),,SA=2a.
Gọi M và N là 2 điểm thay đổi trên 2 cạnh AB,AD sao cho (SMC)_I_(SNC).Tính tổng T= 1/AN^2 + 1/AM^2 khi tứ giác AMCN có diện tích nhỏ nhất,,
@Phaly,,
@dương đại uyển,,
@superlight,,
@Mark Urich giúp vs ạk,,
bài này bạn thấy là có 3 đường vuông góc rồi, các giá trị độ lớn cũng cho rồi, nên có thể đưa về hình học giải tích để giải = phương pháp tọa độ.
Chọn hệ trục tọa độ vuông góc Axyz sao cho Ax trùng AD, Ay trùng AB và Az trùng AS.
Khi đó tọa độ các điểm là:
S(0, 0, 2a)
A(0, 0, 0)
B(0, 2a, 0)
C(2a, 2a, 0)
D(2a, 0, 0)
giả sử AN = x và AM = y, với x,y ko âm.
N = (x, 0, 0)
M = (0, y, 0)
Biểu thức [tex]T = \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}}[/tex]
Diện tích tứ jác S(AMCN) = S(ACM) + S(ACN) = ay + ax = a(x + y).
Ta còn 1 điều kiện nữa là 2 mặt phẳng SCM và SCN vuông góc nhau. Tức là các vectơ pháp tuyến của chúng vuông góc.
Tính đc các vectơ:
[tex]\overrightarrow{SM} = (0, y, -2a)[/tex]
[tex]\overrightarrow{SC} = (2a, 2a, -2a)[/tex]
[tex]\overrightarrow{SN} = (x, 0, -2a)[/tex]
Vectơ pháp tuyến của mp(SCM) nó chính là tích vectơ (tích có hướng) của [tex]\overrightarrow{SM}[/tex] và [tex]\overrightarrow{SC}[/tex]
[tex]\overrightarrow{n(SCM)} = (\begin{vmatrix} y&-2a\\ 2a&-2a \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} -2a&0\\ -2a&2a \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 0&y\\ 2a&2a \end{vmatrix})[/tex] = [tex](-2ay+4a^{2}; -4a^{2}; -2ay)[/tex]
[tex]\overrightarrow{n(SCN)} = (\begin{vmatrix} 2a&-2a\\ 0&-2a \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} -2a&2a\\ -2a&x \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 2a&2a\\ x&0 \end{vmatrix}) = (-4a^{2}; -2ax+4a^{2}; -2ax)[/tex]
giải đk tích vô hướng 2 vectơ pháp tuyến này = 0, ta tính đc liên hệ là:
[tex]2a(x+y) + xy = 8a^{2}[/tex]
hay: [tex]2S = 8a^{2} -xy \geq 8a^{2} - (\frac{x+y}{2})^{2} = 8a^{2} - (\frac{S}{2a})^{2}[/tex]
[tex]S^{2} + 8a^{2}.S -32a^{4} \geq 0[/tex]
giải ra ta đc: [tex]S \geq 4a^{2}(\sqrt{3}-1)[/tex]
[tex]S_{min} = 4a^{2}(\sqrt{3}-1)[/tex] khi [tex]x = y = 2a(\sqrt{3}-1)[/tex]
Và giá trị của T sẽ là [tex]T = \frac{1}{4a^{2}(2-\sqrt{3})}[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
