Toán [Lớp 9] BĐT + Cực trị

[Ngân BTS]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1)Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn ab+bc+ca=3

CMR :[tex]\frac{a^{3}}{b^{2}+3}+\frac{b^{3}}{c^{2}+3}+\frac{c^{3}}{a^{2}+3}\geq \frac{3}{4}[/tex]

2 ) Cho x,y là các số thực dương.Tìm GTNN của biểu thức
[tex]P=\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})\sqrt{2(x^{2}+y^{2})}[/tex]

 

[Hiền Nhi]

Đặt Bt LÀ A:
Vì a,b,c là 3 số dương. Áp dụng BĐT Cô si ta có:
[tex]\frac{a^{3}}{b^{2}+3}+\frac{b^{2}+3}{16}+\frac{1}{4} \geq 3\sqrt[3]{\frac{a^{3}}{b^{2}+3}.\frac{b^{2}+3}{16}.\frac{1}{4}}=\frac{3}{4}a[/tex]
Tương tự: [tex]\frac{b^{3}}{c^{2}+3}+\frac{c^{2}+3}{16}+\frac{1}{4}\geq \frac{3}{4}b[/tex]
[tex]\frac{c^{3}}{a^{2}+3}+\frac{a^{2}+3}{16}+\frac{1}{4}\geq \frac{3}{4}c[/tex]
Cộng vế theo vế ta có:
[tex]A+\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+9}{16}+\frac{3}{4}\geq (a+b+c).\frac{3}{4}[/tex]
Mà [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ac=3 \Leftrightarrow \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+9}{16}\geq \frac{3}{4}[/tex]

 

[Ann Lee]

1)Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn ab+bc+ca=3

CMR :[tex]\frac{a^{3}}{b^{2}+3}+\frac{b^{3}}{c^{2}+3}+\frac{c^{3}}{a^{2}+3}\geq \frac{3}{4}[/tex]

2 ) Cho x,y là các số thực dương.Tìm GTNN của biểu thức
[tex]P=\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})\sqrt{2(x^{2}+y^{2})}[/tex]

Bài 1:
[tex]\frac{a^{3}}{b^{2}+3}= \frac{a^{3}}{b^{2}+ab+bc+ca}=\frac{a^{3}}{(b+a)(b+c)}[/tex]
Suy ra: [tex]\frac{a^{3}}{b^{2}+3}+\frac{a+b}{8}+\frac{b+c}{8}=\frac{a^{3}}{(b+a)(b+c)}+\frac{a+b}{8}+\frac{b+c}{8}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^{3}}{(b+a)(b+c)}.\frac{a+b}{8}.\frac{b+c}{8}}=\frac{3a}{4}[/tex] (BĐT Cauchy 3 số)
Chứng minh tương tự ta được:
[tex]\frac{b^{3}}{c^{2}+3}+\frac{c+a}{8}+\frac{c+b}{8}\geq \frac{3b}{4}[/tex]
[tex]\frac{c^{3}}{a^{2}+3}+\frac{a+b}{8}+\frac{a+c}{8}\geq \frac{3c}{4}[/tex]
Cộng vế với vế ba BĐT trên được:
$\frac{a^{3}}{b^{2}+3}+\frac{a+b}{8}+\frac{b+c}{8}+\frac{b^{3}}{c^{2}+3}+\frac{c+a}{8}+\frac{c+b}{8}+\frac{c^{3}}{a^{2}+3}+\frac{a+b}{8}+\frac{a+c}{8}\geq\frac{3(a+b+c)}{4}$
$\Leftrightarrow \frac{a^{3}}{b^{2}+3}+\frac{b^{3}}{c^{2}+3}+\frac{c^{3}}{a^{2}+3} \geq \frac{a+b+c}{4}$
Lại có: [tex](a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ca)=9\Rightarrow a+b+c\geq 3[/tex] ( có thể chúng minh BĐT này bằng biến đổi tương đương, không thì dùng BĐT Cauchy cũng được)
Suy ra: $\Leftrightarrow \frac{a^{3}}{b^{2}+3}+\frac{b^{3}}{c^{2}+3}+\frac{c^{3}}{a^{2}+3} \geq \frac{a+b+c}{4} \geq \frac{3}{4}$
Dấu"=" xảy ra <=> a=b=c=1
Bài 2:
Không còn điều kiện gì cho x và y nữa hở bạn?

 

[Ann Lee]

Đặt Bt LÀ A:
Vì a,b,c là 3 số dương. Áp dụng BĐT Cô si ta có:
[tex]\frac{a^{3}}{b^{2}+3}+\frac{b^{2}+3}{16}+\frac{1}{4} \geq 3\sqrt[3]{\frac{a^{3}}{b^{2}+3}.\frac{b^{2}+3}{16}.\frac{1}{4}}=\frac{3}{4}a[/tex]
Tương tự: [tex]\frac{b^{3}}{c^{2}+3}+\frac{c^{2}+3}{16}+\frac{1}{4}\geq \frac{3}{4}b[/tex]
[tex]\frac{c^{3}}{a^{2}+3}+\frac{a^{2}+3}{16}+\frac{1}{4}\geq \frac{3}{4}c[/tex]
Cộng vế theo vế ta có:
[tex]A+\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+9}{16}+\frac{3}{4}\geq (a+b+c).\frac{3}{4}[/tex]
Mà [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ac=3 \Leftrightarrow \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+9}{16}\geq \frac{3}{4}[/tex]

Từ chỗ đấy thì suy ra: [tex]A+\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+9}{16}+\frac{3}{4}\geq A+\frac{3}{2}[/tex]
Vậy làm tiếp như nào bạn ơi