Toán Các bài tập khó

[Phạm Nguyên Khôi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Đặt A=n^3+3n^2+5n+3.C/mr A chia hết cho 3 với mọi giá trị nguyên dương của n.
2) Nếu a chia 13 dư 2 và b chia 13 dư 3 thì a^2+b^2 chia hết cho 13.

 

[Blue Plus]

1) Đặt A=n^3+3n^2+5n+3.C/mr A chia hết cho 3 với mọi giá trị nguyên dương của n.
2) Nếu a chia 13 dư 2 và b chia 13 dư 3 thì a^2+b^2 chia hết cho 13.

$ A = n^3 + 3n^2 + 5n + 3 \\ = n^3 + n^2 + 2n^2 + 2n + 3n + 3 \\ = n^2(n + 1) + 2n(n + 1) + 3(n + 1) \\ = (n + 1)(n^2 + 2n + 3) \\ n = 3k - 1 \\\Rightarrow n + 1 = 3k - 1 + 1 = 3k \vdots 3 \\\Rightarrow A \vdots 3 \\n = 3k \\\Rightarrow n^2 + 2n + 3 = (3k)^2 + 2 . 3k+ 3 = 3(3k^2 + 2k + 1) \vdots 3 \\\Rightarrow A \vdots 3 \\ n = 3k + 1 \\\Rightarrow n^2 + 2n + 1 = (3k + 1)^2 + 2(3k + 1) + 3 = 9k^2 + 6k + 1 + 6k + 2 + 3 = 9k^2 + 12k + 6 = 3(3k^2 + 4k + 2) \vdots 3 \\\Rightarrow A \vdots 3 $
Vậy ...
$ a = 13k + 2; b = 13k + 3 \\ a^2 + b^2 \\ = (13k + 2)^2 + (13k + 3)^2 \\ = (13k)^2 + 52k + 4 + (13k)^2 + 78k + 9 \\ = 2(13k)^2 + 130k + 13 \\ = 13(26k^2 + 10k + 1) \vdots 13 $

 

[iceghost]

1 cách thần tốc: $n^3+3n^2+5n+3 = (n-1)n(n+1) + 6n + 3(n^2+1)$ chia hết cho $3$

 

[Tony Time]

2) Dùng pp đồng dư thức
Ta có:
[tex]a \equiv 2(mod13)\Rightarrow a^2\equiv4(mod13)[/tex]
$b\equiv3(mod13)\Rightarrow b^2\equiv9(mod13)$
$\Rightarrow a^2 +b^2 \equiv 4+9=13\equiv0(mod13)$
Vậy đpcm.....
Xem thêm https://diendan.hocmai.vn/threads/chuyen-de-ve-dong-du.316852/

 

[Phạm Nguyên Khôi]

$ A = n^3 + 3n^2 + 5n + 3 \\ = n^3 + n^2 + 2n^2 + 2n + 3n + 3 \\ = n^2(n + 1) + 2n(n + 1) + 3(n + 1) \\ = (n + 1)(n^2 + 2n + 3) \\ n = 3k - 1 \\\Rightarrow n + 1 = 3k - 1 + 1 = 3k \vdots 3 \\\Rightarrow A \vdots 3 \\n = 3k \\\Rightarrow n^2 + 2n + 3 = (3k)^2 + 2 . 3k+ 3 = 3(3k^2 + 2k + 1) \vdots 3 \\\Rightarrow A \vdots 3 \\ n = 3k + 1 \\\Rightarrow n^2 + 2n + 1 = (3k + 1)^2 + 2(3k + 1) + 3 = 9k^2 + 6k + 1 + 6k + 2 + 3 = 9k^2 + 12k + 6 = 3(3k^2 + 4k + 2) \vdots 3 \\\Rightarrow A \vdots 3 $
Vậy ...
$ a = 13k + 2; b = 13k + 3 \\ a^2 + b^2 \\ = (13k + 2)^2 + (13k + 3)^2 \\ = (13k)^2 + 52k + 4 + (13k)^2 + 78k + 9 \\ = 2(13k)^2 + 130k + 13 \\ = 13(26k^2 + 10k + 1) \vdots 13 $

n=3k+1 là sao vậy bạn?