Toán toán hình 9

[Vinh Tino (tông sư)]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 3: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lượt ở C và D. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N.
1.Chứng minh AC + BD = CD.
2.Chứng minh góc COD = 90độ .
3.Chứng minh AC. BD = AB.AB :4 .
4.Chứng minh OC // BM
5.Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD. Chứng minh MN vuông góc AB.
6.Xác định vị trí của M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

Bài 3: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lượt ở C và D. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N.
1.Chứng minh AC + BD = CD.
2.Chứng minh góc COD = 90độ .
3.Chứng minh AC. BD = AB.AB :4 .
4.Chứng minh OC // BM
5.Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD. Chứng minh MN vuông góc AB.
6.Xác định vị trí của M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất

1. $AC=MC; BD=MD$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) $\Rightarrow AC+BD=MC+MD=CD$.
2. $OC$ là tia phân giác của $\widehat{AOM}; OD$ là phân giác của $\widehat{BOM}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Mà $\widehat{AOM}$ và $\widehat{BOM}$ là hai góc kề bù $\Rightarrow OC\perp OD\Rightarrow \widehat{COD}=90^{\circ}$.
3. $\triangle COD$ vuông tại $O, OM\perp CD$. Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có: $OM^2=MC.MD$.
Mà $MC=AC; MD=BD \ (cmt)\Rightarrow AC.BD=OM^2=R^2=\dfrac{AB^2}4$.
4. $DB=DM \ (cmt); OB=OM=R\Rightarrow OD$ là đường trung trực của $BM\Rightarrow BM\perp OD$. Mà $OC\perp OD\Rightarrow OC // BM$.
5. * Gọi $I$ là trung điểm của $CD\Rightarrow OI$ là đường trung bình của hình thang $ABDC\Rightarrow OI // AC$, mà $AC\perp AB\Rightarrow OI\perp AB$ tại $O$.
Vậy $AB$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $CD$.
* $AC // BD\Rightarrow \dfrac{CN}{BN}=\dfrac{AC}{BD}=\dfrac{CM}{DM}\Rightarrow MN // BD$, mà $BD\perp AB\Rightarrow MN\perp AB$.
6. Ta có: $P_{ACDB}=AB+AC+BD+CD=2R+2CD=2R+4OI\ge 2R+4OM=6R$.
Dấu '=' xảy ra $\Leftrightarrow OM=OI\Leftrightarrow M\equiv I\Leftrightarrow M$ là điểm chính giữa của cung $AB$.