Vật lí Vận tốc, gia tốc, lực, năng lượng của con lắc đơn

[haulunyy]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Con lắc đơn có m=0,1kg biên độ dài So=5cm, T=2s. Tìm hợp lực tác dụng vào vật tại VT biên.
2. Con lắc đơn dđđh biết gia tốc cực đại bằng 10 lần gia tốc cực tiểu. Vật dđđh m=200g, l=1m. Tính biên độ góc

 

[Mark Urich]

1. Con lắc đơn có m=0,1kg biên độ dài So=5cm, T=2s. Tìm hợp lực tác dụng vào vật tại VT biên.
2. Con lắc đơn dđđh biết gia tốc cực đại bằng 10 lần gia tốc cực tiểu. Vật dđđh m=200g, l=1m. Tính biên độ góc

- tại biên vật có li độ góc a0 chẳng hạn, vận tốc góc trung bình = s0/T/4 = 0,1
tính góc tại biên a0 = 0,1.T/4 = 0,05 rad
Chuyển động của vật là chuyển động tròn.
Nếu nó là tròn đều thì vật chỉ có gia tốc hướng vào tâm thôi và hợp lực tác dụng lên vật cũng phải hướng vào tâm thì mới tạo ra gia tốc hướng tâm này.
Nhưng ở đây là chuyển động tròn không đều, vận tốc của vật thay đổi liên tục, nó = 0 khi vật ở biên và lớn nhất khi vật đi qua VTCB.
Với chuyển động tròn ko đều này, vectơ gia tốc của vật sẽ gồm 2 thành phần, ngoài thành phần [tex]\overrightarrow{a_{n}}[/tex] cũng hướng vào tâm để giữ cho vật chuyển động tròn, sẽ có thêm thành phần \overrightarrow{a_{t}} có phương tiếp tuyến với quỹ đạo và có chiều cùng với vận tốc nếu vật chuyển động nhanh dần và chiều ngược với vận tốc nếu vật chuyển động chậm dần.
\overrightarrow{a_{n}} gây ra biến đổi về phương của vận tốc (nên nó làm vận tốc thay đổi phương liên tục do đó mới chuyển động tròn đc), còn độ lớn cũng = [tex]a_{n} = \frac{v^{2}}{R}[/tex]. Còn \overrightarrow{a_{t}} đặc trưng cho mức biến đổi về độ lớn của vận tốc.
Tại vị trí bất kì, các lực tác dụng vào vật là trọng lực P và lực căng dây T:
nên luôn có: [tex]m\overrightarrow{a} = \overrightarrow{P} + \overrightarrow{T}[/tex]
Ta phân tích \overrightarrow{P} ra 2 thành phần: [tex]\overrightarrow{P} = \overrightarrow{P_{t}} + \overrightarrow{P_{n}}[/tex]
trong đó \overrightarrow{P_{t}} tiếp tuyến với quỹ đạo, chiều luôn hướng về VTCB, còn \overrightarrow{P_{n}} theo phương của dây và ngược chiều với \overrightarrow{T}.
[tex]m\overrightarrow{a} = \overrightarrow{P_{t}} + (\overrightarrow{T} + \overrightarrow{P_{n}})[/tex]
[tex]m\overrightarrow{a_{t}} + m\overrightarrow{a_{n}} = \overrightarrow{P_{t}} + (\overrightarrow{T} + \overrightarrow{P_{n}})[/tex]
vì \overrightarrow{T} và \overrightarrow{P_{n}} cùng phương nên hợp lực này sẽ cùng giá với dây, và phải hướng vào tâm thì mới jữ cho vật chuyển động tròn đc (nếu ko hướng vào tâm thì vật sẽ bay ra khỏi dây). Như vậy suy ra hợp lực này tạo nên gia tốc hướng tâm \overrightarrow{a_{n}} của vật. Thành phần còn lại \overrightarrow{P_{t}} rõ ràng cùng phương với \overrightarrow{a_{t}}, chiều cũng cùng chiều với \overrightarrow{a_{t}} vì lực này luôn có xu hướng kéo vật về VTCB (\overrightarrow{P_{t}} luôn cùng chiều vận tốc khi v tăng và ngược chiều với vận tốc khi v giảm). Như vậy \overrightarrow{P_{t}} chính là thành phần gây ra gia tốc tiếp tuyến \overrightarrow{a_{t}}.
Vậy: [tex]m\overrightarrow{a_{t}} = \overrightarrow{P_{t}}[/tex]
[tex]m\overrightarrow{a_{n}} = \overrightarrow{T} + \overrightarrow{P_{n}}[/tex]
Tại biên vì vận tốc vật = 0 nên gia tốc hướng tâm lúc này cũng = 0, do đó hợp lực [tex]\overrightarrow{T} + \overrightarrow{P_{n}}[/tex] cũng phải = 0. Như vậy tại biên thì hợp lực tác dụng vào vật chỉ còn lại mỗi thành phần \overrightarrow{P_{t}} đặt vào vật, phương tiếp tuyến với quỹ đạo, chiều hướng về VTCB, và có độ lớn [tex]P_{t} = mgsin\alpha _{0}[/tex] = 0,1.9,8.sin(0,05) = 8,55N

- Trường hợp gia tốc cực đại và cực tiểu:
Về độ lớn ta luôn có gia tốc vật tại mọi vị trí là : [tex]a = \sqrt{a_{t}^{2} + a_{n}^{2}}[/tex]
[tex]a_{n} = \frac{v^{2}}{R}, a_{t} = g.sin\alpha[/tex]
dễ thấy [tex]a_{t}[/tex] max khi [tex]\alpha = 0[/tex] tức vật ở VTCB và min khi [tex]\alpha[/tex] lớn nhất tức vật ở biên
a_{n} cũng max khi vận tóc lớn nhất và vật ở VTCB và min khi vật ở biên và lúc đó v = 0.
Vậy gia tốc cực đại khi vật đi qua VTCB và gia tốc cực tiểu khi vật ở biên.

 

[Mark Urich]

- tại biên vật có li độ góc a0 chẳng hạn, vận tốc góc trung bình = s0/T/4 = 0,1
tính góc tại biên a0 = 0,1.T/4 = 0,05 rad
Chuyển động của vật là chuyển động tròn.
Nếu nó là tròn đều thì vật chỉ có gia tốc hướng vào tâm thôi và hợp lực tác dụng lên vật cũng phải hướng vào tâm thì mới tạo ra gia tốc hướng tâm này.
Nhưng ở đây là chuyển động tròn không đều, vận tốc của vật thay đổi liên tục, nó = 0 khi vật ở biên và lớn nhất khi vật đi qua VTCB.
Với chuyển động tròn ko đều này, vectơ gia tốc của vật sẽ gồm 2 thành phần, ngoài thành phần [tex]\overrightarrow{a_{n}}[/tex] cũng hướng vào tâm để giữ cho vật chuyển động tròn, sẽ có thêm thành phần \overrightarrow{a_{t}} có phương tiếp tuyến với quỹ đạo và có chiều cùng với vận tốc nếu vật chuyển động nhanh dần và chiều ngược với vận tốc nếu vật chuyển động chậm dần.
\overrightarrow{a_{n}} gây ra biến đổi về phương của vận tốc (nên nó làm vận tốc thay đổi phương liên tục do đó mới chuyển động tròn đc), còn độ lớn cũng = [tex]a_{n} = \frac{v^{2}}{R}[/tex]. Còn \overrightarrow{a_{t}} đặc trưng cho mức biến đổi về độ lớn của vận tốc.
Tại vị trí bất kì, các lực tác dụng vào vật là trọng lực P và lực căng dây T:
nên luôn có: [tex]m\overrightarrow{a} = \overrightarrow{P} + \overrightarrow{T}[/tex]
Ta phân tích \overrightarrow{P} ra 2 thành phần: [tex]\overrightarrow{P} = \overrightarrow{P_{t}} + \overrightarrow{P_{n}}[/tex]
trong đó \overrightarrow{P_{t}} tiếp tuyến với quỹ đạo, chiều luôn hướng về VTCB, còn \overrightarrow{P_{n}} theo phương của dây và ngược chiều với \overrightarrow{T}.
[tex]m\overrightarrow{a} = \overrightarrow{P_{t}} + (\overrightarrow{T} + \overrightarrow{P_{n}})[/tex]
[tex]m\overrightarrow{a_{t}} + m\overrightarrow{a_{n}} = \overrightarrow{P_{t}} + (\overrightarrow{T} + \overrightarrow{P_{n}})[/tex]
vì \overrightarrow{T} và \overrightarrow{P_{n}} cùng phương nên hợp lực này sẽ cùng giá với dây, và phải hướng vào tâm thì mới jữ cho vật chuyển động tròn đc (nếu ko hướng vào tâm thì vật sẽ bay ra khỏi dây). Như vậy suy ra hợp lực này tạo nên gia tốc hướng tâm \overrightarrow{a_{n}} của vật. Thành phần còn lại \overrightarrow{P_{t}} rõ ràng cùng phương với \overrightarrow{a_{t}}, chiều cũng cùng chiều với \overrightarrow{a_{t}} vì lực này luôn có xu hướng kéo vật về VTCB (\overrightarrow{P_{t}} luôn cùng chiều vận tốc khi v tăng và ngược chiều với vận tốc khi v giảm). Như vậy \overrightarrow{P_{t}} chính là thành phần gây ra gia tốc tiếp tuyến \overrightarrow{a_{t}}.
Vậy: [tex]m\overrightarrow{a_{t}} = \overrightarrow{P_{t}}[/tex]
[tex]m\overrightarrow{a_{n}} = \overrightarrow{T} + \overrightarrow{P_{n}}[/tex]
Tại biên vì vận tốc vật = 0 nên gia tốc hướng tâm lúc này cũng = 0, do đó hợp lực [tex]\overrightarrow{T} + \overrightarrow{P_{n}}[/tex] cũng phải = 0. Như vậy tại biên thì hợp lực tác dụng vào vật chỉ còn lại mỗi thành phần \overrightarrow{P_{t}} đặt vào vật, phương tiếp tuyến với quỹ đạo, chiều hướng về VTCB, và có độ lớn [tex]P_{t} = mgsin\alpha _{0}[/tex] = 0,1.9,8.sin(0,05) = 8,55N

- Trường hợp gia tốc cực đại và cực tiểu:
Về độ lớn ta luôn có gia tốc vật tại mọi vị trí là : [tex]a = \sqrt{a_{t}^{2} + a_{n}^{2}}[/tex]
[tex]a_{n} = \frac{v^{2}}{R}, a_{t} = g.sin\alpha[/tex]
dễ thấy [tex]a_{t}[/tex] max khi [tex]\alpha = 0[/tex] tức vật ở VTCB và min khi [tex]\alpha[/tex] lớn nhất tức vật ở biên
a_{n} cũng max khi vận tóc lớn nhất và vật ở VTCB và min khi vật ở biên và lúc đó v = 0.
Vậy gia tốc cực đại khi vật đi qua VTCB và gia tốc cực tiểu khi vật ở biên.

sorry, tôi nhầm chỗ hàm sin max khi góc là 90 độ.
Câu b ta phải thay vào rồi tính trực tiếp.
ta biết vận tốc tại vị trí bất kì là: [tex]v^{2} = 2gl.(cos\alpha -cos\alpha _{0})[/tex]

thay các công thức của a(t) và a(n) vào ta tính a sẽ là hàm bậc 2:
[tex]a^{2} = g^{2}.(3cos^{2}\alpha - 8cos\alpha.cos\alpha _{0} + 4cos^{2}\alpha_{0} + 1)[/tex]
đặt [tex]t = cos\alpha , t_{0} = cos\alpha _{0}[/tex]
ta phải xét hàm: [tex]f(t) = 3t^{2} - 8t_{0}.t + 4t^{2}_{0} + 1[/tex]
với [tex]t_{0} \leq t \leq 1[/tex]
hàm này là bậc 2 đồng biến khi t > 4t[tex]_{0}[/tex] /3 và nghịch biến khi ngược lại.
dao động điều hòa nên biên độ góc [tex]\alpha _{0}[/tex] nhỏ nên giá trị trên 4t[tex]_{0}[/tex] / 3 coi > 1.
do đó hàm nghịch biến trong khoảng xét.
nên max khi [tex]t = t_{0}[/tex], và giá trị max = [tex]1 - t_{0}^{2}[/tex]
và min khi t = 1, giá trị min = [tex](2t_{0} - 2)^{2}[/tex]
suy ra:
a(min) = [tex]g(2 - 2t_{0})[/tex]
a(max) = [tex]g\sqrt{1 - t_{0}^{2}}[/tex]
Giải điều kiện a(max) = 10.a(min)
[tex]\sqrt{1 - t_{0}^{2}} = 20.(1 - t_{0})[/tex]
[tex]1 + t_{0} = 400(1 - t_{0})[/tex]
--> [tex]cos\alpha _{0} = \frac{399}{401}[/tex]

 

[haulunyy]

sorry, tôi nhầm chỗ hàm sin max khi góc là 90 độ.
Câu b ta phải thay vào rồi tính trực tiếp.
ta biết vận tốc tại vị trí bất kì là: [tex]v^{2} = 2gl.(cos\alpha -cos\alpha _{0})[/tex]

thay các công thức của a(t) và a(n) vào ta tính a sẽ là hàm bậc 2:
[tex]a^{2} = g^{2}.(3cos^{2}\alpha - 8cos\alpha.cos\alpha _{0} + 4cos^{2}\alpha_{0} + 1)[/tex]
đặt [tex]t = cos\alpha , t_{0} = cos\alpha _{0}[/tex]
ta phải xét hàm: [tex]f(t) = 3t^{2} - 8t_{0}.t + 4t^{2}_{0} + 1[/tex]
với [tex]t_{0} \leq t \leq 1[/tex]
hàm này là bậc 2 đồng biến khi t > 4t[tex]_{0}[/tex] /3 và nghịch biến khi ngược lại.
dao động điều hòa nên biên độ góc [tex]\alpha _{0}[/tex] nhỏ nên giá trị trên 4t[tex]_{0}[/tex] / 3 coi > 1.
do đó hàm nghịch biến trong khoảng xét.
nên max khi [tex]t = t_{0}[/tex], và giá trị max = [tex]1 - t_{0}^{2}[/tex]
và min khi t = 1, giá trị min = [tex](2t_{0} - 2)^{2}[/tex]
suy ra:
a(min) = [tex]g(2 - 2t_{0})[/tex]
a(max) = [tex]g\sqrt{1 - t_{0}^{2}}[/tex]
Giải điều kiện a(max) = 10.a(min)
[tex]\sqrt{1 - t_{0}^{2}} = 20.(1 - t_{0})[/tex]
[tex]1 + t_{0} = 400(1 - t_{0})[/tex]
--> [tex]cos\alpha _{0} = \frac{399}{401}[/tex]

cảm ơn bạn