Toán [ Lớp11] Ứng dụng tính chất hàm số liên tục

[Lanh_Chanh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh phương trình [tex]|x|^3-2mx^2+2=0[/tex] luôn có 4 nghiệm phân biệt với $m>2$

 

[Mark Urich]

Chứng minh phương trình [tex]|x|^3-2mx^2+2=0[/tex] luôn có 4 nghiệm phân biệt với $m>2$

đặt t = |x|, đưa pt về:
[tex]t^{3} - 2m.t^{2} + 2 = 0[/tex]
cần c/m pt này có 2 nghiệm dương phân biệt với m > 2.
xét hàm số [tex]f(t) = t^{3} -2m.t^{2} + 2[/tex]
hàm này liên tục trên R với mọi m.
f(0) = 2 > 0
f(1) = 3 - 2m < 0 vì m > 2
theo tính chất của hàm liên tục suy ra nên f(t) có 1 nghiệm trong khoảng (0; 1)
Ta tìm 1 khoảng khác nữa để hàm có nghiệm dương trong khoảng đó.
[tex]f(m) = 2 - m^{3} < 0[/tex] vì m > 2
[tex]f(m^{2}) = m^{6} - 2m^{5} + 2 = m^{5}(m-2) + 2 > 0[/tex] do m > 2
vậy f cũng có 1 nghiệm dương trong khoảng [tex](m, m^{2})[/tex]
do m > 2 nên 2 khoảng này phân biệt.
--> dpcm