Toán Tìm Max

[hoanglop7amt]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm Max: M=[tex]\frac{y\sqrt{x-1}+x\sqrt{y-4}}{xy}[/tex]

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

Tìm Max: M=[tex]\frac{y\sqrt{x-1}+x\sqrt{y-4}}{xy}[/tex]

ĐK: $x\ge 1; y\ge 4$.
$M=\dfrac{y\sqrt{x-1}+x\sqrt{y-4}}{xy}=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x}+\dfrac{\sqrt{y-4}}{y}$
$\dfrac{x}{\sqrt{x-1}}=\dfrac{x-1+1}{\sqrt{x-1}}=\sqrt{x-1}+\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}\ge 2\Rightarrow \dfrac{\sqrt{x-1}}{x}\le \dfrac{1}{2}$
$\dfrac{y}{\sqrt{y-4}}=\dfrac{y-4+4}{\sqrt{y-4}}=\sqrt{y-4}+\dfrac{4}{\sqrt{y-4}}\ge 4\Rightarrow \dfrac{\sqrt{y-4}}{y}\le \dfrac{1}{4}$
$\Rightarrow M\le \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$
Dấu '=' xảy ra $\Leftrightarrow x=2; y=8$ (TMĐK)

 

[Ann Lee]

Cách khác:
$M=\frac{y\sqrt{x-1}+x\sqrt{y-4}}{xy}$
$=\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-4}}{y}$
$=\frac{2\sqrt{(x-1).1}}{2x}+\frac{2\sqrt{(y-4).4}}{4y}\leq \frac{x-1+1}{2x}+\frac{y-4+4}{4y}$ (BĐT Cauchy)
$=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$
Dấu "=" xảy ra <=> x=2;y=8